高考数学高频易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。

? x>0? x + y>0? x>1? x + y>3???? ? ，但 与 不等价。 ? y>0? xy>0? y>2? xy>2

x

【例1】已知f(x) = ax + ，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围。

b

①??3?a?b?0?错误解法 由条件得? b3?2a??6?②2?②×2－① 6?a?15 ③ ①×2－②得 ?8b2??? ④ 33310b431043③+④得 ?3a??,即?f(3)?.

33333x，b错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)?ax?其值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

?f(1)?a?b?正确解法 由题意有?b, 解得：

f(2)?2a??2?12a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],

33b1651637?f(3)?3a??f(2)?f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得 ?f(3)?.

39933在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】

2(1) 设?、?是方程x?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)?(??1)的最小值是

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(A)?494(B)8(C)18(D)不存在

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,

?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2

349?4(k?)2?.44有的学生一看到?49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思4性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

? 原方程有两个实根?、?，∴??4k2?4(k?6)?0 ? k??2或k?3.

当k?3时，(??1)?(??1)的最小值是8； 当k??2时，(??1)?(??1)的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 y2

(2) 已知(x+2)+ =1, 求x2+y2的取值范围。

4

2

2222错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+

8228)+ ， 3382828

∴当x=－ 时，x2+y2有最大值 ，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。

333分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 y2y22

事实上，由于(x+2)+ =1 ? (x+2)=1－ ≤1 ? －3≤x≤－1，

44

2

从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1,

28

]。 3

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

11

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ a )2+(b+ b )2的最小值。 错解 (a+

1121112)+(b+)2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8,

abababab第2页

∴(a+

121)+(b+)2的最小值是8. ab1,2分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=

第二次等号成立的条件是ab=是最小值。 事实上，原式= a2+b2+

1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不ab1111112222

++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+)－

aba2b2a2b22]+4 ab

由ab≤(

= (1－2ab)(1+

1)+4， 22aba?b211111)= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥16，1+22≥17， 2422abab1251∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，

2221125

∴(a + )2 + (b + )2的最小值是2 。

ab

●不进行分类讨论，导致错误

n【例4】(1)已知数列?an?的前n项和Sn?2?1，求an.

nn?1nn?1?2n?1. 错误解法 an?Sn?Sn?1?(2?1)?(2?1)?2?2错误分析 显然，当n?1时，a1?S1?3?21?1?1。

错误原因：没有注意公式an?Sn?Sn?1成立的条件是。

?S1(n?1)因此在运用an?Sn?Sn?1时，必须检验n?1时的情形。即：an??。

S(n?2,n?N)?n2(2)实数a为何值时，圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线y?2错误解法 将圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线 y?22222221x有两个公共点。 21x联立，消去y， 2得 x?(2a?)x?a?1?0(x?0). ①

122???0?171?. 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得?2a??0 ， 解之得a?82?2??a?1?0.第3页

错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a?0时，圆与抛物线有两个公共点。

O x O x y y 图2－2－1 图2－2－2 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

???0当方程①有一正根、一负根时，得?2解之，得?1?a?1.

?a?1?0.因此，当a?公共点。

2思考题：实数a为何值时，圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线y?2221712222或?1?a?1时，圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线y?x有两个821x， 2(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列?an?的全n项和为Sn.若S3?S6?2S9，求数列的公比q.

a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)??2?错误解法 ?S3?S6?2S9,?，

1?q1?q1?q整理得q3(2q6?q3?1）＝0.

63333由q?0得方程2q?q?1?0.?(2q?1)(q?1)?0,?q??。

42或q?1第4页

a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)??2?错误分析 在错解中，由，

1?q1?q1?q整理得q3(2q6?q3?1）＝0时，应有a1?0和q?1。

在等比数列中，a1?0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q?1的情况，再在q?1的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法 若q?1，则有S3?3a1,S6?6a1,S9?9a1.但a1?0，即得

S3?S6?2S9,与题设矛盾，故q?1.

又依题意 S3?S6?2S9 ?

a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)??2? ?

1?q1?q1?qq3(2q6?q3?1）＝0,即(2q3?1)(q3?1)?0,因为q?1，所以q3?1?0,所以2q?1?0.解得 q??334. 2说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y?2x仅有一个交点。

错误解法 设所求的过点(0,1)的直线为y?kx?1，则它与抛物线的交点为

2?y?kx?1222，消去y得(kx?1)?2x?0.整理得 kx?(2k?2)x?1?0. ?2?y?2x?直线与抛物线仅有一个交点，???0,解得k?错误分析 此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为y?kx?1时，没有考虑k?0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以

11.?所求直线为y?x?1. 22第5页