《数学分析》教案
授课章节：第一章 实数集与函数---§２数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。 教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加
以运用。
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。
教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。
引言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！
１．证明：对任何x?R有（１）|x?1|?|x?2|?1；（２）|x?1|?|x?2|?|x?3|?2. ２．证明：|x|?|y|?|x?y|.
３．设a,b?R，证明：若对任何正数?有a?b??，则a?b. ４．设x,y?R,x?y，证明：存在有理数r满足y?r?x.
[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。
本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。
一 区间与邻域
１．区间（用来表示变量的变化范围）
设a,b?R且a?b。
????.??开区间: ?x?R|a?x?b??(a,b)?有限区间?闭区间: x?R|a?x?b?[a,b].????????闭开区间:?x?R|a?x?b??[a,b)?半开半闭区间??????开闭区间:?x?R|a?x?b??(a,b]? 区间???x?R|x?a??[a,??).?????x?R|x?a??(??,a].??无限区间???x?R|x?a??(a,??).???x?R|x?a??(??,a).???????x?R|???x?????R.?２．邻域
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联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ （１） a的?邻域：设a?R,??0，满足不等式|x?a|??的全体实数x的集合称为点a的?邻
域，记作U(a;?)，或简记为U(a)，即
U(a;?)??x|x?a|????(a??,a??).
（２） 点a的空心?邻域
Uo(a;?)??x0?|x?a|????(a??,a)?(a,a??)?Uo(a).
（３） a的?右邻域和点a的空心?右邻域
U?(a;?)?[a,a??)?U?(a)??xa?x?a???;U?(a;?)?(a,a??)?U?(a)??xa?x?a???.00
（４） 点a的?左邻域和点a的空心?左邻域
U?(a;?)?(a??,a]?U?(a)??xa???x?a?;U(a;?)?(a??,a)?U?(a)??xa???x?a?.0?0
（５）?邻域，??邻域，??邻域
U(?)??x|x|?M?, （其中Ｍ为充分大的正数）；U(??)??xx?M?, U(??)??xx??M?
二 有界集与无界集
什么是“界”？
定义１（上、下界）： 设S为R中的一个数集。若存在数M(L)，使得一切x?S都有x?M(x?L)，则称Ｓ为有上（下）界的数集。数M(L)称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集。
若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。
注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：
例1 讨论数集N??n|n为正整数的有界性。
分析：有界或无界?上界、下界？下界显然有，如取L?1；上界似乎无，但需要证明。 解：任取n0?N?，显然有n0?1，所以N?有下界１；但N?无上界。证明如下：假设N?有上界M,则M>0，按定义，对任意n0?N?，都有n0?M，这是不可能的，如取n0?[M]?1,则n0?N?，且
??n0?M.
综上所述知：N?是有下界无上界的数集，因而是无界集。
例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集。
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[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)。
三 确界与确界原理
１、定义
定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数?满足：(1) 对一切x?S,有x??（即?是Ｓ的上界）; (2) 对任何???，存在x0?S，使得x0??（即?是Ｓ的上界中最小的一个），则称数?为数集Ｓ的上确界，记作 ??supS.
定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数?满足：（１）对一切x?S,有x??（即?是Ｓ的下界）；（２）对任何???，存在x0?S，使得x0??（即?是Ｓ的下界中最大的一个），则称数?为数集Ｓ的下确界，记作??infS.
上确界与下确界统称为确界。
［作业］：Ｐ９ １（１），（２）； ２； ４ （２）、（４）；７
小学少先队组织机构 少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织，特制定以下方案： 一、成员的确定 1、大队长由纪律部门、卫生部门、升旗手、鼓号队四个组织各推荐一名优秀学生担任（共四名），该部门就主要由大队长负责部门内的纪律。 2、中、小队长由各班中队公开、公平选举产生，中队长各班一名（共11名），一般由班长担任，也可以根据本班的实际情况另行选举。小队长各班各小组先选举出一名（共8个小组，就8名小队长）然后各班可以根据需要添加小队长几名。 3、在进行班级选举中、小队长时应注意，必须把卫生、纪律部门的检查学生先选举在中、小队长之内，剩余的中、小队长名额由班级其他优秀学生担任。 4、在班级公开、公平选举出中、小队长之后，由班主任老师授予中、小队长标志，大队长由少先队大队部授予大队长标志。 二、成员的职责及任免 1、大、中、小队长属于学校少先队组织，各队长不管是遇见该班的、外班的，不管是否在值勤，只要发现任何人在学校内出现说脏话、乱扔果皮纸屑、追逐打闹、攀爬栏杆、乱写乱画等等一些违纪现象，都可以站出来制止或者报告老师。 2、班主任在各中队要对中、小队长提出具体的责任，如设置管卫生的小队长，管纪律的小队长，管文明礼貌的、管服装整洁的等等，根据你班的需要自行定出若干相应职责，让各位队长清楚自己的职权，有具体可操作的事情去管理，让各位队长成为班主任真正的助手，让学生管理学生。各中队长可以负责全班的任何违纪现象，并负责每天早上检查红领巾与校牌及各小队长标志的佩戴情况。 3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现象，班主任可根据中、小队长的表现撤消该同学中、小队长的职务，另行选举，大队长由纪律、卫生部门及少先队大队部撤消，另行选举。 4、各班中、小队长在管理班级的过程中负责，表现优秀，期末评为少先队部门优秀干部。
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