第二章习题及答案

2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 [其中外力F(t)，位移x(t)和电压ur(t)为输入量；位移y(t)和电压uc(t)为输出量；k（弹性系数），f（阻尼系数），R（电阻），C（电容）和m（质量）均为常数]。

解

（a）以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出

dyd2y?m2 F(t)?ky(t)?fdtdt 整理得

d2y(t)fdy(t)k1??y(t)?F(t) 2mdtmmdt

（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 k1(x?x1)?f(对B点有 f(dx1dy?) （1） dtdtdx1dy?)?k2y （2） dtdt联立式（1）、（2）可得：

k1k2k1dxdy ?y?dtf(k1?k2)k1?k2dt(c) 应用复数阻抗概念可写出

1csI(s)?U(s) （3） Ur(s)?c1R1?csR1 10

Uc(s) （4） R2U(s)R2(1?R1Cs)联立式（3）、（4），可解得： c ?Ur(s)R1?R2?R1R2CsduR?R2du1微分方程为: c?1uc?r?ur

dtCR1R2dtCR1I(s)? (d) 由图解2-1（d）可写出

Ur(s)?RIR(s)??IR(s)?Ic(s)?1 （5） Cs1?RIR(s)?RIc(s) （6） Cs1Uc(s)?Ic(s)R??IR(s)?Ic(s)? （7）

Cs联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量IC(s)和

Ic(s) IR(s)，可得：

Uc(s)R2C2s2?2RCs?1 ?222Ur(s)RCs?3RCs?1duc2dur23duc12dur1微分方程为 2??22uc?2??22ur

dtCRdtCRdtCRdtCR2-2 试证明题2-2图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解

(a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图

解2-2(a)所示。对A点有

??y?)?f1(y??y?1) (1) k2(x?y)?f2(x对B点有

??y?1)?k1y1 (2) f1(y

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对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量y1，整理后得

f1f22ffs?(1?2)s?1k1k2k1k2Y(s) =

fffffX(s)12s2?(1?2?1)s?1k1k2k1k2k2(b) 由图可写出

Uc(s) = 1R2?C2sUr(s)1R1?C1s1R2??1C1sR1?C1s

整理得

Uc(s)R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2)s?1 = 2Ur(s)R1R2C1C2s?(R1C1?R2C2?R1C2)s?1

2-3 假设某容器的液位高度h与液体流入量Qr满足方程

dh??dtSh?1Qr， S式中S为液位容器的横截面积，?为常数。若h与Qr在其工作点(Qr0,h0)附近做微量变化，试导出?h关于?Qr的线性化方程。

解 将h在h0处展开为泰勒级数并取一次近似

h?h0?代入原方程可得

dh1|h0??h?h0???h （1） dt2h0d(h0??h)?11?(h0???h)?(Qr0??Qr) （2）

dtSS2h0在平衡工作点处系统满足

dh0??h0?Qr0 （3） dt式（2），（3）相减可得?h的线性化方程 Sd?h???h??Qr dt2h02-4 试求题2-3图所示各信号x(t)的象函数X(s)。

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