高中数学 随机变量及其分布 学案 选修2-3 下载本文

河北省张家口一中高二数学选修2-3 随机变量及其分布 学案

【考纲知识梳理】 一、随机变量及其分布列 1.离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量。 2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,?,xi,?,xn,X取每一个值

xi(i?1,2,?,n)的概率P(X?xi)?pi,则表

X P x1 p1 x2 p2 ?? ??

xi pi ?? ?? xn pn 称为X的分布列,P(X?xi)?pi,i?1,2,?,n 为X的分布列。 (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i?1,2,?,n);②

?pi?1ni?1。

3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布

若随机变量X服从两点分布,即其分布列为(2)超几何分布

其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N,称分布列

X P 0 1 ?? *

m mn?mCMCN?M nCN0n?01n?1CMCNCMCN?M?M nnCNCN? 为超几何分布列。 二、二项分布及其应用

1.条件概率及其性质(1)条件概率的定义

A、B为两个事件,且P(A)>0,P(B|A)=P(AB)/P(A) 若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)。 (2)条件概率的性质 ①0≤P(B|A)≤1;

②如果B、C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 2.事件的相互独立性

如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。 3.独立重复试验与二项分布

那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)

kk=Cnp(1?p)n?k(k?0,1,2,?,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p)

三、离散型随机变量的均值与方差 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为

EX=x1p1+x2p2+??+xipi+??+xnpn为随机变量X的均值或数学期望DX=

?(x?EX)ii?1n2pi为随机变量X的方差,其算术平方根DX为随机变量X的标准差,记

作?X。

2.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=aDX.(a,b为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p). (2)若X~B(n,p),则EX=np.DX=np(1-p). 四、正态分布 1.正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义

?1??,?(x)?e2??(x??)22?22

,x?(??,??),

(2)正态曲线的性质:

①曲线位于x轴上方,与x轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线x=?对称; ③曲线在x=?处达到峰值1 2??④曲线与x轴之间的面积为1;

⑤当?一定时,曲线随着?的变化而沿x轴平移

⑥当?一定时,曲线的形状由?确定。?越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;,表示总体的分布越分散 ?越大,曲线越“矮胖”2.正态分布

(1)正态分布的定义及表示 P(a

????(x)dx,则称X为正态分布,记作N(?,?a,b2)。

(2)正态总体在三个特殊区间取值的概率值

①P(?-?<X≤?+?)=0.6826; ②P(?-2?<X≤?+2?)=0.9544; ③P(?-3?<X≤?+3?)=0.9974. (3)3?原则

五、回归分析以及独立性检验的基本思想(见教材) 【热点难点精析】

一、离散型随机变量及其分布列

〖例〗一袋装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码,求X的分布列。

(二)离散型随机变量分布列的性质 〖例〗设离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m