? 当m?n时，z?a是??z????z?的l级零点，l?min(m,n)
当m?n时，z?a是??z????z?的l级零点，其中l?m(n)
1dm?1 Res[f?z?,z0]?limm?1[(z?z0)mf?z?]
(m?1)!z?z0dz 特别地，若z0是f?z?的一级极点，则Res[f?z?,z0]?lim(z?z0)f?z?
z?z0（十五）留数的概念
1．留数的定义：设z0为f?z?的孤立奇点，f?z?在z0的去心邻域
注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。 法则II 设f?z??P?z?Q?z?0?z?z0??内解析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称积分
，P?z?,Q?z?在z0解析，P?z0??0,
?c2?i?1f?z?dz为f?z?在z0的留数（或残留），记作 Q?z0??0,Q??z0??0，则Res[P?z?Q?z?,z0]?P?z0?
Q??z0?Res[f?z?,z0]??f?z?dz 2?i?c1（十六）留数基本定理
设f?z?在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2?,zn外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
2．留数的计算方法
若z0是f?z?的孤立奇点，则Res[f?z?,z0]?c?1，其中c?1为f?z?在
??f?z?dz?2?i?Res[f?z?,z]
cnn?1?z0的去心邻域内洛朗展开式中(z?z0)?1的系数。
1）可去奇点处的留数：若z0是f?z?的可去奇点，则Res[f?z?,z0]?0 2）m级极点处的留数
法则I 若z0是f?z?的m级极点，则
说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f?z?在c内各孤立奇点处留数的局部问题。
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积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念
? F[f(t)]??????f(t)e?jwtdt?F(w) ?
F?1[F(?)]?1?t2??????F(?)ejd??f(t) 二、几个常用函数的傅里叶变换
?
F[e(t)]?1??j?
?
F[u(t)]?1j????(?)
? F[?(t)]?1 ?
F[1]?2??(?)
三、傅里叶变换的性质
? 位移性（时域）：F[f(t?t0)]?e?jwt0F[f(t)]
? 位移性（频域）：F[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?F(w?w0) ? 位移性推论：F[sinw0tf(t)]?12j[F(w?w0)?F(w?w0)]
? 位移性推论：F[cosw0tf(t)]?12[F(w?w0)?F(w?w0)] ? 微分性（时域）：F[f?(t)]?(jw)F(w) （t???,f(t)?0），
F[f(n)(t)]?(jw)nF(w)，t???,f(n?1)(t)?0
? 微分性（频域）：F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)nf(t)]?F(n)(w)? 相似性：F[f(at)]?1aF(wa) (a?0) 四、拉普拉斯变换的概念
?
L[f(t)]?????st0f(t)edt?F(s)
五、几个常用函数的拉普拉斯变换
?
L[ekt]?1s?k； ? L[tm]??(m?1)m!sm?1?sm?1(m是自然数
)（?(1)?1,?(12)??,?(m?1)?m?(m)）
? L[u(t)]?L[1]?1s；
?
L[?(t)]?1
? L[sinkt]?ks2?k2,L[coskt]?ss2?k2
；
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s 22s?kT1? 设f(t?T)?f(t)，则L[f(t)]?（f(t)是以T为周期f(t)dt。??
L[shkt]?k,22s?kL[chkt]?? F[f1(t)?f2(t)]?F1(w)?F2(w) ? F[f1(t)?f2(t)]?1F1(w)?F2(w) 1?e?Ts0的周期函数）
六、拉普拉斯变换的性质
? 微
分
性
（
时
域
）
L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?s2F(s)?sf(0)?f?(0) ? 微分性（频域）：L([?)tft]?F?s????，L[(?t)nf?t?]?F(n)?s?
? 积分性（时域）：L[?tf?t?dt]?F?s?0s
? 积分性（频域）：L[f?t??t]??sF?s?ds（收敛）
? 位移性（时域）：L[eatf?t?]?F?s?a?
? 位移性（频域）：L[f?t???]?e?s?F?s?（??0,t?0,f(t)?0）? 相似性：L[f(at)]?1aF(sa) (a?0) 七、卷积及卷积定理 ?
f??1(t)*f2(t)????f1(?)f2(t??)d?
2?? L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) 八、几个积分公式
? ?????f(t)?(t)dt?f(0)
? ?????f(t)?(t?t0)dt?f(t0)
?
???f(t)0tdt???0L[f(t)]ds???0F(s)ds?
???0f(t)e?ktdt?L[f(t)]s?k
13
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