第3讲 空间角的计算
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A卷
1．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝1A． 21C．－
2【答案】D
→→→→→→→→→→→→→→→
【解析】OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA|·|OC|cos〈OA，OC〉－|OA|·|OBππ→→→→→→→→
|cos〈OA，OB〉＝|OA|·|OC|cos－|OA|·|OB|cos＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.
33
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为( )
A．
3
210 5
B．
3
310 10B．
π→→
，则cos〈OA，BC〉等于( ) 3
2
2
D．0
C．D．
【答案】C
【解析】如图，建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，显然AC⊥平→→→→
面BB1D1D，所以AC＝(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量．又BC1＝(0,4,2)，所以cos〈BC1，AC〉＝
BC1·AC→→
＝
1616＋4·16＋16
→→|BC1||AC|
＝
1010，即直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为. 55
9
3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形．若
4
P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
5πA．
12πC．
4【答案】B
- 1 -
π
B．
3πD．
6
【解析】如图，过P作PP′⊥平面ABC于P′，则P′为平面ABC的中心．连接AP′，
延长交BC于点M，则∠P′AP即为PA与平面ABC所成的角．由V＝Sh，得h＝＝
S13
×3××3222π
＝3，即PP′＝3.又AP′＝AM＝1，所以tan∠P′AP＝3.所以∠P′AP＝.故选B．
33
V9
4
4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )
A．150° C．60° 【答案】C
→→→→→→→→→2→2→
【解析】由条件知CA·AB＝0，AB·BD＝0，因为CD＝CA＋AB＋BD，所以|CD|＝|CA|＋|AB→2→→→→→→2→→2222
|＋|BD|＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝6＋4＋8＋2×6×8cos〈CA，BD〉＝(217).所以1→→→→→→
cos〈CA，BD〉＝－，则〈CA，BD〉＝120°，即〈AC，BD〉＝60°.所以二面角的大小为60°.
2
5．(2018年广东东莞模拟)如图，圆锥的底面直径AB＝2，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，∠AOD＝120°，则空间中两条直线AD与BC所成的角为( )
B．45° D．120°
A．30° C．75° 【答案】B
【解析】如图，取弧AB中点E，以O为原点，OE所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，
B．60° D．90°
OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系．由题意得A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C(0,0，2)，D?
?31?→?33?→
，，0?，则AD＝?，，0?，BC＝(0，－1，2)．设直线AD与BC所成的角为θ，则?22??22?
- 2 -
→→
|AD·BC|1
cos θ＝＝，∴θ＝60°.故选B．
→→2|AD|·|BC|
6．(2019年上海改编)已知向量a＝(1,0,2)，b＝(2,1,0)，则a与b的夹角的余弦值为________．
2
【答案】
5【解析】cos θ＝
a·b2＋0＋02
＝＝.
|a||b|5×55
7．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
【答案】90°
→→→→→1→→→
【解析】不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，cos〈AB1，BM〉＝
2→→?→1→????BB?1－BA?·?BC＋2BB1??????|0－2＋2－0|
22×5
＝
22×5
→→
＝0，所以〈AB1，BM〉＝90°.
8．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为________．
【答案】45°
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，→→?11?→?11?P(0,0,1)．于是AD＝(0,1,0)．取PD中点为E，则E?0，，?，∴AE＝?0，，?.易知AD是平
?22??22?
2→→→
面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴cos〈AD，AE〉＝，∴平面PAB与平面PCD的
2夹角为45°.
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