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第三章
3-1已知系统脉冲响应k(t)?0.0125e?1.25t，试求系统闭环传递函数?(s)。 解：由系统的脉冲响应k(t)?0.0125e?1.25t得 C(s)?0.0125C(s)0.01251 又 R(s)?1 则?(s)? ??1.25?sR(s)1.25?s80s?1003-3单位反馈系统的开环传递函数G(s)?4，求单位阶跃响应h(t)和调节时间ts。
s(s?5) 解：由开环传递函数G(s)?4得
s(s?5)G(s)4?2
1?G(s)s?5s?44 2s(s?5s?4)闭环传递函数为?(s)? 则 单位阶跃响应H(s)??(s)R(s)?拉氏反变换得：h(t)?1?∵?(s)?4?t1?4te?e 334 2s?5s?4 5?n?2,??1.22∴?n?4,2??n?5 解得：
若取??5%，则得 ts?3??n4?1.2s
若取??2%，则得 ts???n?1.6s
3-6机器人控制系统结构图如下图所示，试确定参数K1 ,K2,使系统阶跃响应的峰值时间
tp?0.5s，超调量??2%。
解：由图可得 系统闭环传递函数?(s)?KKG(s)?212
1?G(s)s?as?K1对照二阶系统的数学模型有?n?K1,2??n?a,K2?1
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tp?又
??n1???2?0.5 解得?n?10.04,??0.78 则a?15.67,K1?100.71,K2?1
??1??2??e?2%
3-7设上题所示系统的单位阶跃响应如下图所示，试确定系统参数K1 ,K2和a。 解：由图可知h(?)?3,?p?1,tp?0.1 3 又∵ 系统单位阶跃响应为：H(s)??(s)R(s)?K1K2
s(s2?as?K1)h(?)?limsH(s)?K2?3s?0???1??2 ∴ ?p?e?132解得
?n?33.3?,?代入 0. 3tp?
??n1???0.12?n?K1,2??n?a 有 a?22,K1?1106.5,K2?3
3-8已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在s右半平面根的个数及纯虚根。 （1）D(s)?s?2s?2s?4s?11s?10?0 （2）D(s)?s?3s?12s?24s?32s?48?0 （3）D(s)?s?2s?s?2?0
（4）D(s)?s?2s?24s?48s?25s?50?0
解（1）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件，列劳斯阵列如下
1 2 11
2
4 6
10
54325454325432s5 s s3 s2 s1
40??
4??12?6
???
10
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s0
10
第一列元素符号改变两次，所以系统不稳定，且有两个s右半平面的根。
（2）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件，列劳斯阵列如下
1 12 32
s5
s s s2 s1 s s0
1343 4 12 0 24 48
24 16 48
48
P(s)?12s2?48 P'(s)?24s
s1,2??2j
即系统有一对共轭虚根s1,2??2j，没有s右半平面的根，系统处于临界稳定状态。
（3）D(s)?s?2s?s?2?(s?1)(s?2)?0 解得s??1,?j,?2
则系统不稳定，有一对共轭纯虚根?j，且s右平面有一个根为1。
（4）D(s)?s?2s?24s?48s?25s?50?(s?25)(s?1)(s?2)?0 解得s??1,?5j,?2
则系统不稳定，有一对共轭纯虚根?5j，且s右平面有一个根为1。
3-9单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?-1，试确定开环增益的取值范围。 解：系统闭环传递函数?(s)?543222544K，为使系统特征根的实部不大于
s(s?3)(s?5)G(s)K?3 21?G(s)s?8s?15s?K则特征式D(s)?s?8s+15s+K
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∵极点在s??1之左
∴令s?s1?1代入D（s）中，得D1(s)?s13?5s12+2s1-8+K?0 劳斯阵列表为
1
5
2 K-8
s13 s12 s11 s10
18?K 5K-8
?18?K?5?0?系统稳定，则 ?K?8?0 解得 8?K?18
??8?K?0??
3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?7(s?1)，试求当输入信号2s(s?4)(s?2s?2)r(t)分别等于1(t)，t和t2时系统的稳定误差。
解：稳态误差ess?limss?01R(s)
1?G(s)H(s) 由题意可知G(s)?7(s?1)， H(s)=1
s(s?4)(s2?2s?2)1s(s?4)(s2?2s?2)1 ○1当r(t)?1(t)时 R(s)? 则ess?lims??0
s?0s(s?4)(s2?2s?2)?7(s?1)ss1s(s?4)(s2?2s?2)18 ○2当r(t)?t时 R(s)?2 则ess?lims??
s?0s(s?4)(s2?2s?2)?7(s?1)s2s72s(s?4)(s2?2s?2)2 ○3当r(t)?t时 R(s)?3 则ess?lims???
s?0s(s?4)(s2?2s?2)?7(s?1)s3s2
3-13系统结构图如下图所示，已知r(t)?n1(t)?n2(t)?1(t)，试分别计算r(t),n1(t)和n2(t)作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的稳态误差的影响。
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解：○1r(t)作用时
G(s)?
K1,R(s)?,H(s)?1
s(T1s?1)(T2s?1)s则系统稳态误差：ess?limss?0s(T1s?1)(T2s?1)1R(s)?lim?0
s?01?G(s)H(s)s(T1s?1)(T2s?1)?K
○2n1(t)作用时
1KN1(s)? 干扰作用点与误差点之间的传递函数为G1(s)?
sT1s?1则系统稳态误差：ess?limss?0Ts?1?11N1(s)?lim1??
s?0?KG1(s)K ○3n2(t)作用时
N2(s)?1K1 干扰作用点与误差点之间的传递函数为G2(s)?? sT1s?1S则系统稳态误差：ess?limss?0(Ts?1)S?1N2(s)?lim1?0
s?0G2(s)?K扰动作用下的稳态误差与扰动作用点之后积分环节无关，而与误差信号到扰动作用点之间的
前向通道中的积分环节有关，增加积分环节可减小甚至消除稳态误差。
3-15单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?25
s(s?5)2（1）求各静态误差系数和r(t)?1?2t?0.5t时的稳态误差ess。 （2）当输入作用10s时的动态误差是多少？
解：（1）静态位置误差系数kp?limG(s)H(s)?lims?0s?025??
s(s?5)25s?5
s(s?5) 静态速度误差系数kv?limsG(s)H(s)?lims?0s?025s2静态加速度误差系数ka?limsG(s)H(s)?lim?0
s?0s?0s(s?5)2 专业整理 知识分享