【高考专题资料】整理人：智名堂文韬

专题：圆的方程、直线和圆的位置关系

【知识要点】

圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程

形如： (x?a)2?(y?b)2?r2 这个方程叫做圆的标准方程。 王新敞说明：1、若圆心在坐标原点上，这时a?b?0，则圆的方程就是x2?y2?r2。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确

定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。

王新敞（二）圆的一般方程

将圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2,展开可得x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0。可见，任何一个圆的方程都可以写成 :x2?y2?Dx?Ey?F?0。

问题：形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程的曲线是不是圆？

D2E2D2?E2?4F2将方程x?y?Dx?Ey?F?0左边配方得：(x?)?(y?)?()

2222222（1）当D?E?4F?0时，方程（1）与标准方程比较，方程x?y?Dx?Ey?F?0表示以(?22DE,?)为圆22D2?E2?4F心，以为半径的圆。

222（2）当D?E?4F?0时，方程x?y?Dx?Ey?F?0只有实数解，解为x??22DE,y??,所以表示一个22DE,?). 222222（3）当D?E?4F?0时，方程x?y?Dx?Ey?F?0没有实数解，因而它不表示任何图形。

点(?圆的一般方程的定义：当D?E?4F?0时，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（i）x和y的系数相同，不等于零；（ii）没有xy这样的二次项。 （三）直线与圆的位置关系

1、直线与圆位置关系的种类

（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：

（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离

（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d

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（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组

（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程

（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：

（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切 ；当Δ>0时，直线与圆相交。

圆的切线方程总结：

当点(x0,y0)在圆x2?y2?r2上时，切线方程为：x0x?y0y?r2；

当点(x0,y0)在圆(x?a)2?(y?b)2?r2上时，切线方程为：(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2。 【典型例题】 类型一：圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y?0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系． 变式1：求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y?0平分的圆的标准方程.

变式2：求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y?0对称的圆的标准方程.

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：（待定系数法）

222222设圆的标准方程为(x?a)?(y?b)?r．∵圆心在y?0上，故b?0．∴圆的方程为(x?a)?y?r． 22??(1?a)?16?r2a??1r?20． 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．∴? 解之得：，22??(3?a)?4?r所以所求圆的方程为(x?1)?y?20． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为kAB?224?2??1，故l1?3的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：y?3?x?2即x?y?1?0．

又知圆心在直线y?0上，故圆心坐标为C(?1,0)∴半径r?AC?第 2 页 共 2 页

(1?1)2?42?20．

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故所求圆的方程为(x?1)2?y2?20．又点P(2,4)到圆心C(?1,0)的距离为

d?PC?(2?1)2?42?25?r．∴点P在圆外．

例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。

解：设圆的方程为：x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，将三个点的坐标代入方程

?F?0??D?E?F?2?0?4D?2E?F?20?0?? F ＝ 0， D ＝ ?8， E ＝ 6 ? 圆方程为：x2 ＋ y2 ?8x ＋ 6y ＝ 0

配方：（ x ?4 ）2 ＋ （ y ＋ 3 ）2 ＝ 25 ?圆心：（ 4， ?3 ）， 半径r ＝ 5 例3：求经过点A(0,5)，且与直线x?2y?0和2x?y?0都相切的圆的方程．

分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．

解：∵圆和直线x?2y?0与2x?y?0相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，

又圆心到两直线x?2y?0和2x?y?0的距离相等．∴

x?2y5?x?2y5．∴两直线交角的平分线方程是

x?3y?0或3x?y?0．又∵圆过点A(0,5)，∴圆心C只能在直线3x?y?0上．

设圆心C(t,3t)∵C到直线2x?y?0的距离等于AC，∴

2t?3t5?t2?(3t?5)2．

2化简整理得t?6t?5?0．解得：t?1或t?5∴圆心是(1,3)，半径为5或圆心是(5,15)，半径为55．

∴所求圆的方程为(x?1)?(y?3)?5或(x?5)?(y?15)?125．

说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例4、已知圆O：x2?y2?4，求过点P?2，4?与圆O相切的切线．

解：∵点P?2，4?不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为y?k?x?2??4 根据d?r∴

2222?2k?41?k2?2.解得k?33所以y??x?2??4即3x?4y?10?0 4，4，

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x?2． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用

x0x?y0y?r2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．

例5、自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x?y?4x?4y?7?0相切，求光线所在直线方程。

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