【高考专题资料】整理人：智名堂文韬
类型三：弦长、弧问题
例8、求直线l:3x?y?6?0被圆C:x2?y2?2x?4y?0截得的弦AB的长.
例9、直线3x?y?23?0截圆x?y?4得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距d?的圆心角为?AOB?223，故弦长AB?2r2?d2?2，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对
?3.
例10、圆C：(x?1)2?(y?2)2?25，直线（2m?1）x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)，
（Ⅰ）证明：不论m取何值时，l与C恒有两个交点；
（Ⅱ）求最短弦长所在直线方程。
分析：本题最关键的是直线交点系方程的转化，挖掘出直线恒过定点。再探究定点在圆内，下一步只需要去探究点到直线的距离最大时，直线方程是什么。
类型四：直线与圆的位置关系
例11、已知直线3x?y?23?0和圆x?y?4，判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线y?x?m与曲线y?224?x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.
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解：∵曲线y?4?x2表示半圆x2?y2?4(y?0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是
?2?m?2或m?22.
例13、圆(x?3)2?(y?3)2?9上到直线3x?4y?11?0的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆(x?3)2?(y?3)2?9的圆心为O1(3,3)，半径r?3．设圆心O1到直线3x?4y?11?0的距离为d，则d?3?3?4?3?113?422?2?3．如图，在圆心O1同侧，与直线3x?4y?11?0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又r?d?3?2?1．∴与直线3x?4y?11?0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线3x?4y?11?0，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为
3x?4y?m?0，则d?m?113?4223x?4y?6?0，或?1，∴m?11??5，即m??6，或m??16，也即l1：l2：3x?4y?16?0．设圆O1：(x?3)2?(y?3)2?9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，
则d1?3?3?4?3?63?422?3，d2?3?3?4?3?163?422?1．
∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个． 类型五：圆中的最值问题
22例14、圆x?y?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离的差是 22解：∵圆(x?2)?(y?2)?18的圆心为（2，2），半径r?32，∴圆心到直线的距离d?102?52?r，
∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d?r)?(d?r)?2r?62.
例15、(1)已知圆O1：(x?3)2?(y?4)2?1，P(x,y)为圆O上的动点，求d?x2?y2的最大、最小值．
(2)已知圆O2：(x?2)2?y2?1，P(x,y)为圆上任一点．求值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．本题类比于2017年高考理科全国二卷12题，这类型题目的处理方法就是通过几何意义用线性规划的思路来处理，或者用圆的参数方程，分别把x,y表示出来，通过研究三角函数的最值研究。
解：(1)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1．所以d1?32?42?1?6．d2?32?42?1?4．
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'y?2的最大、最小值，求x?2y的最大、最小x?1'
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所以dmax?36．dmin?16． (2)设
y?2?k，则kx?y?k?2?0．由于P(x,y)是圆上点，当直x?1y?23?33?3．所以的最大值为，
x?144线与圆有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由d??2k?k?21?k2?1，得k?最小值为
3?3．令x?2y?t，同理两条切线在x轴上的截距分别是最4大、最小值．由d??2?m5?1，得m??2?5．所以x?2y的最大值为?2?5，最小值为?2?5．
22例16、已知A(?2,0)，B(2,0)，点P在圆(x?3)?(y?4)?4上运动，则PA?PB的最小值是 . 解：设P(x,y)，则PA?PB则OP
类型六：直线与圆的综合
例17、在平面直角坐标系x0y中，经过点（0，3）且斜率为k的直线l与圆x2?y2?4有两个不同的交点P、Q。 （1） 求k的取值范围；
（2） 设A(2,0),B(0,1)若向量OP?OQ与AB共线，求k的值。
min2222?(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?2(x2?y2)?8?2OP?8.设圆心为C(3,4)，
222?OC?r?5?2?3，∴PA?PB的最小值为2?3?8?26.
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