从双线性映射谈起

龙岩学院 周金森 梁俊平 刘宏锦

定义1 设V、U与W都是域F的线性空间，?是V?U到W的一个映射，如果对于?,?1,?2?V，?,?1,?2?U,任意k,l?F，有

(1)??k?1?l?2,???k???1,???l???2,?? (2) ???,k?1?l?2??k???,?1??l???,?2? 则称?是V?U到W的双线性映射；

(i)若W=F，则称?为V?U上的双线性函数； (ii)若W=F，V=U，则称?为V上的双线性函数；

(iii) 若W=F，V=U，且???,??????,??，则称?为V的一个对称双线性函数；记???,???q???，称q为V上的二次函数；

(iv) 若W=F=R，V=U，且???,???,???,??????,??，0当且仅当??0时???,???0，则称?为正定的实对称双线性函数，或称?为V上一个实内积,???,??常记为??,??。

一、考虑V上的双线性函数与矩阵之间的一一对应关系

V中取一个基?1,?2,,?n，V中向量?,?在此基下的坐标分别为

X??x1,x2,,xn?，Y??y1,y2,',yn?，则

'n?n????,??????xi?i,?yj?j??j?1?i?1?xiyj???i,?j? ??ij?1?1nn?a11a12?a22?a令A=?21??a?n1an2?a2n??，aij????i,?j?,称A是双线性函数?在此基?ann??a1n??1,?2,,?n下的度量矩阵，它是由?及基唯一决定，???,???X'AY，反之，

任给一个域F的一个n级矩阵，可以定义V上的一个双线性函数，满足

???i,?j??aij。

命题1 (1)V上的双线性函数?在V的不同基下的度量矩阵是合同的。 (2)V上的对称双线性函数?在V的一个基下的度量矩阵是对称阵。 (3) 实内积?在V的一个基下的度量矩阵是正定阵。

命题2 设?是特征不为2的域F的n维线性空间V上的对称双线性函数，则V中存在一个基，使得?在此基下的度量矩阵是对角阵。

命题3 任一对称阵都合同于对角阵。 （矩阵语言）

因为矩阵的合同关系是一个等价关系，下面从等价关系进一步考虑

命题4 （1）在复数域上，n级对称阵按合同关系分成n+1类，秩为r的代

?E表元为?r?00??，秩是完全等价不变量。 0?（2）在实数域上，n

n?级对称阵按合同关系分成

?1??n?2?2类，秩为r

?Ep?且正惯性指数为p的代表元为????Er?p???，秩，正惯性指数，负惯性指数，?0??符号差是等价不变量，不是完全等价不变量，但四个量中任取两个量是完全等价

不变量。

注1 在丘维声《高等代数学习指导书》中给出惯性定理中唯一性的三种证法。

在实数域上，我们考虑一个特殊的类就是正定阵 命题5 n级对称阵A是正定阵

??0?X?Rn?1,X'AX?0 ?正惯性指数=n ?A合同于E

?存在可逆阵P，使得A=P'P ?kA是正定阵 （k>0） ?A?1是正定阵

?A的伴随矩阵是正定阵 ? A的所有特征值全大于0 ?A的所有顺序主子式全大于0 ?A的所有主子式全大于0

?存在主对角线上的元素全是1的上三角阵B，使得A=B'DB，其

中D是正定的对角阵

?存在主对角线上的元素全是正的上三角阵C，使得A=C'C ?A?0

?aii?0??i?

?A的绝对值最大的元素必在主对角线上。 注2 利用必要性可以很快地判断某些矩阵不是正定阵。 注3 A的特征多项式

?E?A??n?b1?n?1?b2?n?2????1?bk?n?k?k???1?bn中的bkn就是A的所有k阶主子式的和，其中b1?a11?a22?b1??1??2???n,bn??1?2?n,?i?i?1,2,?ann，bn?A,而且

,n?是A的所有特征值。

二、考虑对称双线性函数与二次型（二次函数）的关系

命题6 设V是特征不为2的域F的一个线性空间，q是V上一个二次函数，则存在V的唯一的对称双线性函数?，使得???,???q???，???V。 三、双线性函数空间

域F的线性空间V上的所有线性函数构成的集合，定义加法、纯量乘法，可以构成域F的一个线性空间，称为V上的线性函数空间（或对偶空间），记作V*。

依此类推，我们把域F的线性空间V上的所有双线性函数构成的集合T2?V?，定义加法、纯量乘法，易证T2?V?对于函数的加法、纯量乘法构成域F的一个线性空间，称T2?V?为V的双线性函数空间。由于双线性函数与它在V的一个基下的度量矩阵是一一对应关系，且保持线性运算，因此两个线性空间同构

T2?V??Mn?F?，从而dimT2?V??n2。

为了构造V上的双线性函数，想法是给了V上的两个线性函数g,h,令

???,???g???h???，??,??V，容易验证???,??是V上的双线性函数，把它记成g?h，即?g?h???,???g???h???,??,??V，把g?h称为线性函数g与h的张量积。

命题7 V的一个基?1,?2,f1?f1,f1?f2,,?n，它的对偶基为f1,f2,,f2?fn,,fn，则（1）

,fn?fn,f1?fn,f2?f1,f2?f2,,fn?f1,fn?f2,是T2?V?的一个基；（2）设双线性函数?在基?1,?2,,?n下的度量矩阵为

?a?ijn?n，则双线性函数?在T2?V?的一个基

,f1?fn,f2?f1,f2?f2,,f2?fn,,fn?f1,fn?f2,,fn?fnf1?f1,f1?f2,