?f(z)?1f(?)d?
2?i?C??z3?2?7??1d?. ??C??z2 因此 f(?)?2?i(?3??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1)
f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).
3、解：
ezezf(z)?2?.z?1(z?i)(z?i)Res(f(z),i)?4、解：
?ieie,Res(f(z),?i)?.22ii
z?12?11 ????1z(z?1)(z?2)z?1z?2z(1?)1?z21?1,zz?1. 2 由于1?z?2，从而 因此在1?z?2内
z有
(z?1)z(???1?1nzn1?znn1???()?()??[()?( )].?2?2)zn?0zn?0z2n?0z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5、解：设z?x?iy, 则w?. ??22z?1z?1?iy(x?1)?yx2?y2?1 ?Rew?,22(x?1)?yImw?2y. 22(x?1)?yz2?z?2,则f(z)在Imz?0内有两个一级极点z1?3i,z2?i， 6、解：设f(z)?4z?10z2?9Res(f(z),3i)?3?7i1?i,Res(f(z),i)??, 4816因此，根据留数定理有
?????z2?z?23?7i1?i?dz?2?i(?)??.
z4?10z2?948166四、证明题（20分）
31
2、证明：设u(x,y)?a?bi，则ux?uy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此
?(x,y)?D有 ux?vy?0, uy??vx?0.
于是v(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常数. 3、证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?z0)mg(z)， 其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，
于是
111 ??mf(z)(z?z0)g(z)1在内D1解析，故g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
z0为
1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题（十）参考答案
一、判断题（40分）：
1.√ 2. √ 3.√ 4. × 5. √ 6. × 7. √ 8. √ 9. √ 10. √ 二、填空题（20分）： 1. 2?i 2.
z1z??i1 3. 4. 5. 2(n?1)!(1?z)三、计算题（40分） 1. 解：f(z)?z在z?2上解析，由cauchy积分公式，有 29?zz22z9?zdz?dz? ?2?i??z?2z?iz?2(9?z2)(z?i)9?z2?z??i?5
eize?iiRes(f,?i)??e 2. 解：设f(z)?，有
1?z2?2i22??n??n?1?i??1?i?3. 解：???(cos?isin)?(cos?isin) ???4444?2??2? ?cosnnn?n?n?n?n??isin?cos?isin?2cos 4444432
4. 解：
?u2x?u2y， ?2?222?xx?y?yx?y(x,y)v(x,y)?? ?(0,0)?uydx?uxdy?c??(x,y)(0,0)?2y2xdx?dy?c
x2?y2x2?y2?y0y2x?2arctan?c dy?c22xx?yf(1?i)?u(1,1)?iv(1,1)?ln2?i(2arctan1?c)?ln2
故c???2，v(x,y)?2arctany?? x2
《复变函数》考试试题（十一）参考答案
一、1．× 2．√ ３．× ４．√ ５．√ 二、1． 1 2．? ３．u?11 ４．u? 222k???2k????isin)(k?0,1,2,3) ５．zk?4a(cos4412n2?1 ８．15 ６． ７．
3?9.
?(a) 10. ?m ??(a)?ux?2,2?xx?y?uy?2 2?yx?y三、1．解：
v(x,y)? ????(x,y)(0,0)?uydx?uxdy?C
yxdx?dy?C
x2?y2x2?y2(x,y)(0,0)? ?y0xydy?C?arctan?C. 22x?yx?iv(1又 f(1?i)?u(1,1)
?故C???4,11ln2?i(arctan1?C)?ln2. 22y?v(x,y)?arctan?.
x4 33
1sin2zz?(2k?)?,2.解: (1) tanz?奇点为
2cos2z2k?0,?1?对任意整数k,
1z?(2k?)?为二阶极点, z??为本性奇点.
2 (2) 奇点为z0?1,zk?2k?i,(k?0,?1?)
z?1为本性奇点,对任意整数k,zk为一级极点,z??为本性奇点.
z193. (1)解: f(z)?2共有六个有限奇点, 且均在内C:z?4, 443(z?1)(z?2)由留数定理,有
?z?4f(z)dz?2?i[?Res(f,?)]
将f在z??的去心邻域内作Laurent展开
f(z)?z1912z(1?2)4?z12(1?4)3zz8
11??z(1?1)4(1?2)3z2z414106z4 ?(1?2?4??)(1?4?8??)
zzzzz14??3??zz所以Res(f,?)??C?1??1
?z?4f(z)dz?2?i.
(2)解: 令z?e,则
i?I?? ??0d?12?d?? 22?01?cos?21?cos?14zdz
2?C:z?1i(z4?6z2?1)4zdz2du?,故 422i(z?6z?1)i(u?6u?1)再令z?u则
2 34
12du2du I??2??22?C:z?1C2i(u?6u?1)iu?6u?1由留数定理,有
21? I??2?iRes(f,?3?8)?4???i422四、1.证明: f(z)?u(x,?y)?iv(x,?y)?u*?iv*
u*?u(x,?y),ux?ux,**v*??v(x,?y)vx??vx,*uy??uy,vy?vy*
由f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在上半平面内解析,从而有
ux?vy,**因此有ux?vy,uy??vx.
uy*??vx*
故f(z)在下半平面内解析. 2.证明: (1) ?r1?r2,0?r1?r2?R则
z?r1z?r1 M(r1)?maxf(z)?maxf(z) M(r2)?maxf(z)?maxf(z)
z?r2z?r2故M(r2)?M(r1),即M(r)在[0,R)上为r的上升函数. (2)如果存在r1及r2(0?r1?r2?R)使得M(r1)?M(r2) 则有 maxf(z)?maxf(z)
z?r2z?r1于是在r1?z?r2内f(z)恒为常数,从而在z?R内f(z)恒为常数.
《复变函数》考试试题（十二）参考答案
一、判断题.
1. × 2. × 3. × 4. √ 5. × 二、填空题.
1. ?1 2. (??) 3. f(z)?z?1 4. 0,? z5. i 6. 2? 7. 1 8.
35
2n2??1