圆锥曲线

x2y2

1．已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点

ab1→

A，交另一条渐近线于点B，且AF2＝F2B，则该双曲线的离心率为( )

3

→

A.

65

B. C.3 D．2 22

答案 A

解析 由F2(c,0)到渐近线y＝的距离为d＝

babca2＋b→→

＝b，即|AF|＝b，则|BF22|＝3b. 2

b2×

ab4b→→

在△AF2O中，|OA|＝a , |OF2|＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化简可得a2＝2b2，即c2

aa?b?

1－??2

?a?

32c6

＝a＋b＝a，即e＝＝，故选A.

2a2

2

2

x2y2π

2．设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切

ab3

圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( ) 4212

A. B. C. D. 5325答案 B

(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，

π由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，

3

422

可得|PF1||PF2|＝(a－c)，

3

11

则由三角形面积公式(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，

22可得(2a＋2c)·

34223a－c()c＝·，

632

c2

∴e＝＝.

a3

3．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已π

知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为

2椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )

A．圆的一部分

B．椭圆的一部分

D．抛物线的一部分

C．双曲线的一部分 答案 D

解析 如图，因为对于给定的椭圆说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.

x2y2

4．过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个

ab端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．

答案 (1，2)∪(2＋2，＋∞)

x2y2

解析 设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，

ab令＝－c，可得y＝±b2

c2b2

－1＝±， a2a2

b?b???

设A?－c，?，B?－c，－?，D(0，b)，

a?a???b??c，b－可得AD＝?，

a???

→

2

2b?→?b??

AB＝?0，－?，DB＝?－c，－b－?，

a?a???→

2

2

→→

若∠DAB为钝角，则AD·AB<0，

b2?2b2?

即0－·?b－?<0，

a?

a?

化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2， 可得c2<2a2，即e＝<2， 又e>1，可得1

→→

若∠ADB为钝角，则DA·DB<0，

ca?b??b?

即c2－?＋b??－b?<0，

?a??a?

2

2

化为c4－4a2c2＋2a4>0，

c由e＝，可得e4－4e2＋2>0，

a又e>1，可得e>2＋2；

b2?2b2?

又AB·DB＝?b＋?>0，

→

→

a?a?

∴∠DBA不可能为钝角．

综上可得，e的取值范围为(1，2)∪(

2＋2，＋∞)．

5．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，

2|PQ|2

且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.

|MN|

x2