初中数学中的整式恒等式一览表

草根雾岩

学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们

@初中理科班数学

进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！

【1】

在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同

难度要求对恒等式进行分类.

【课内涉及的恒等式】

（1）平方差公式

?a?b??a?b??a2?b2

（2）完全平方和、差公式

(a?b)2?a2?2ab?b2

??a?b??a?b??b2?a2

(a?b)2?a2?2ab?b2

（3）平方和与完全平方和差的关系

a2?b2??a?b??2ab

2a2?b2??a?b??2ab

2 （4）完全平方和差的关系

?a?b???a?b?22?4ab

?a?b???a?b?22?2?a2?b2?

（5）三项和完全平方公式

?a?b?c?

2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca

（6）两项轮换差的完全平方和

a2?b2?c2?ab?bc?ca?1?222a?b???b?c???c?a?? ??2? （7）十字相乘法

?x?p??x?q??x2??p?q?x?pq

（8）分组分解法

ax?by?ay?bx??a?b??x?y?

【自招中涉及的公式】

（1）立方和、差公式

(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3

(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3

（2）完全立方和、差公式

(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

（3）立方和差与完全立方和差的关系

a3?b3??a?b??3ab?a?b?

3

a3?b3??a?b??3ab?a?b?

3 （4）杨辉三角

?a?b?5?a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5 ?a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5

?a?b?

5（5）四项和完全平方公式

?a?b?c?d?2?a2?b2?c2?d2?2ab?2ac?2ad?2bc?2bd?2cd

【几个比较有名的配方公式】

（1）?a2?b2??c2?d2???ac?bd???ad?bc???ac?bd???ad?bc?

2222这是著名的菲波那切（Fibonacci，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二

元柯西不等式.

（2）?a?b??a4?b4?2?a2?ab?b2?

42（3）?n?1??n2??n?1??n2??n2?n?1?

222（4）a4?b4?c4?d4?4abcd??a2?b2???c2?d2??2?ab?cd?

222该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）x?x?1??x?2??x?3??1??x2?3x?1?

2该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）?a?b???b?c???c?a??2223212a?b2?c2???a?b?c? ?22一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）n4?4k4??n2?2nk?2k2??n2?2nk?2k2?

双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一

切整数n?1，4n4?1及n4?4都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain，1776--1831）定理

【2】

.

当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式4t4的数。