解：（1）∵y=mx2+4mx﹣5m，

∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）． 令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0， ∵m≠0， ∴x=﹣5或x=1．

∴A（﹣5，0）、B（1，0）． ∴抛物线的对称轴为x=﹣2． ∵抛物线的顶点坐标为为6∴﹣9m=6∴m=﹣

． ．

x2﹣

x+

．

，

∴抛物线的解析式为y=﹣

（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）． （3）如图所示： ∵OP的解析式为y=∴∠AOP=30°． ∴∠PBF=60°

∵PD⊥PF，FO⊥OD， ∴∠DPF=∠FOD=90°． ∴∠DPF+∠FOD=180°． ∴点O、D、P、F共圆． ∴∠PDF=∠PBF． ∴∠PDF=60°．

x，

4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，

点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= 5 ，PH= 5 ，由此发现，PO = PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）解：∵抛物线y=ax+1经过点A（4，﹣3）， ∴﹣3=16a+1， ∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）． （2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5， ∴PO=PH，

故答案分别为5，5，=． ②结论：PO=PH．

理由：设点P坐标（m，﹣ m+1）， ∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1 PO=∴PO=PH． （3）∵BC=∴BC=AC， ∵PO=PH，

又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴PH与BC，PO与AC是对应边， ∴

=

，设点P（m，﹣ m2+1），

=

，AC=

=

，AB=

=4

=m+1，

22

2

∴=，

解得m=±1，

∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．

5．已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC 于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？

（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm， ∴AC=10，

①当AP=PO=t，如图1， 过P作PM⊥AO，

∴AM=AO=，

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ADC， ∴∴AP=t=

， ，

②当AP=AO=t=5， ∴当t为

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G， 在△APO与△CEO中，

，

∴△AOP≌△COE， ∴CE=AP=t， ∵△CEH∽△ABC， ∴∴EH=∵DN=

， ，

=

，

或5时，△AOP是等腰三角形；

∵QM∥DN， ∴△CQM∽△CDN， ∴

，即

，

∴QM=∴DG=

﹣

，

=

，

∵FQ∥AC， ∴△DFQ∽△DOC， ∴∴FQ=

， ，