第18练 用导数研究函数的单调性

[基础保分练]

1．若f(x)＝x－ax＋1在(1,3)上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，3]

3

2

?9?B.?，＋∞? ?2?

D．(0,3)

?9?C.?3，?

?2?

132

2．设函数f(x)＝ax－x(a>0)在(0,2)上不单调，则a的取值范围是( )

3A．a>1 1

C．0

2

B．0

D.

3．(2019·长春检测)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)＋f′(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝2f(ln2)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是( ) A．c>b>aB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a

114．(2019·厦门外国语学校月考)已知函数f(x)＝sinx－x，x∈[0，π]，且cosx0＝，x0∈[0，

33π]那么下列命题中真命题的序号是( ) ①f(x)的最大值为f(x0)； ②f(x)的最小值为f(x0)； ③f(x)在[0，π]上是减函数； ④f(x)在[x0，π]上是减函数． A．①③B．①④C．②③D．②④ 5．若0lnx2－lnx1 C．x2e1?x1e2

xxxxB．e2－e1

xxxx6．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是( )

7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，则不等

1

式

fx>0的解集为( ) xA．{x|－22} C．{x|－22} D．{x|x<－2或0

8．已知函数y＝f(x)在R上存在导函数f′(x)，?x∈R都有f′(x)

B．[2，＋∞)

D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

9．定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.

定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在323

区间D上为凹函数，已知函数f(x)＝x－x＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是

2________．

10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式ef(x)>e＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为________．

[能力提升练]

1．(2018·湖南省澧县一中检测)设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，已知

xxf′(x)

取值范围是( ) A．(－2，＋∞) C．(1，＋∞)

B．(0，＋∞) D．(4，＋∞)

2．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件： ①f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；②f(1)＝0，g(x)≠0； ③当x>0时，总有f(x)·g′(x)

fx－2

>0的解集为( )

gx－2

B．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(3，＋∞)

3．定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且当x>0时，不等式f(x)>－xf′(x)恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为( ) A．1B．2C．3D．4

4．(2019·四川省眉山市仁寿第一中学调研)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx·f′(x)<－f(x)，则使得(x－4)f(x)>0成立的x的取值范围是( )

2

2

A．(－2,0)∪(0,2) C．(－2,0)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)

3

2

5．已知y＝f(x)(x∈R)的导函数为f′(x)，若f(x)－f(－x)＝2x，且当x≥0时f′(x)>3x，则不等式f(x)－f(x－1)>3x－3x＋1的解集是________．

6．若函数e·f(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函2

x数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________． ①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3

；④f(x)＝x2

＋2.

答案精析

基础保分练

1．B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B 7．C [令g(x)＝

fxx，x∈R且x≠0. ∵x＞0时，g′(x)＝

xf′x－fxx2

>0，

∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵f(－x)＝f(x)，∴g(－x)＝－g(x)，

∴g(x)是奇函数，g(x)在(－∞，0)上单调递增， ∵g(2)＝

f2

2

＝0，

∴0＜x＜2时，g(x)＜0，x＞2时，

g(x)＞0，

根据函数的奇偶性，g(－2)＝－g(2)＝0，－2＜x＜0时，g(x)＞0，x＜－2时，

g(x)＜0，

综上所述，不等式fxx>0的解集为{x|－22}． 故选C.]

3