利用正、余弦定 3【例1】 在△ABC中，∠A＝60°，c＝7a． (1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

3[解] (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝7a， csin A3333所以由正弦定理得sin C＝a＝7×2＝14. 33

(2)因为a＝7，所以c＝7a＝7×7＝3， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得

1

72＝b2＋32－2b×3×2，解得b＝8或b＝－5(舍去)，

理解三角形 113

所以△ABC的面积S＝2bcsin A＝2×8×3×2＝63.

解三角形的四种类型

已知条件 一边和两角(如a，B，C) 两边和夹角(如a，b，C) 应用定理 正弦定理 一般解法 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解. 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解． 由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解． 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解.

π1

1．(1)在△ABC中，B＝4，BC边上的高等于3BC，则cos A＝( ) 310

A．10 10

C．－10 10B．10 310D．－10 余弦定理、 正弦定理 三边(a，b，c) 两边和其中一边的对角(如a，b，A) 余弦定理 正弦定理、 余弦定理 (2)在△ABC中，若三边的长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．

1π

(1)C [设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得3a＝csin4＝232c，则a＝22c．

在△ABC中，由余弦定理可得

9510

b2＝a2＋c2－2ac＝2c2＋c2－3c2＝2c2，则b＝2C． 52292

b＋c－a2c＋c－2c10

由余弦定理，可得cos A＝2bc＝＝－10.]

102×2c×c

2

2

2

(2)[解] 设最小内角为θ，三边长为n－1，n，n＋1， n－1n＋1

由正弦定理，得sin θ＝sin 2θ， n＋1

所以n－1＝2cos θ， 所以cos θ＝

n＋12?n－1?

. 由余弦定理的变形公式，得 n2＋?n＋1?2－?n－1?2

cos θ＝，

2n?n＋1?

n2＋?n＋1?2－?n－1?2

所以＝，解得n＝5.

2?n－1?2n?n＋1?

n＋1

所以△ABC的三边分别为4,5,6.

判断三角形的形状 bcos C1＋cos 2C【例2】 在△ABC中，若ccos B＝，试判断△ABC的形状．

1＋cos 2B2cos2Ccos2Cbcos Ccos Cb

[解] 由已知＝2cos2B＝cos2B＝ccos B得cos B＝c，

1＋cos 2B以下可有两种解法：

1＋cos 2C