（注：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(2.5)?0.9938,?(3)?0.9987）

21．对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[a,b]内，求圆面积的数学期望？

???cosx0?x?222．设随机变量X的概率密度为fX(x)??，试求随机变量Y?X2?其它?0的方差？

23.一批零件中有9个合格品3个次品，在安装机器时从这批零件中任取一个。如果每次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已经取出的次品个数的期望及方差？

24.由统计物理学知道，气体分子运动的速率X服从麦克斯威尔分布，其概率密度函数

?4x2?x2?ea为f(x)??3a??0?2x?0 x?0这里，a,(a?0)是参数。试求分子运动速率X的期望及方差？

25.自动生产线在调整之后出现次品的概率为p，生产中若出现次品时立即进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的数学期望及方差？

26.已知连续型随机变量X的概率密度函数为

f(x)?1?e?x2?2x?1

试求X的数学期望及方差？

27.设X为随机变量，C为常数且C?E(X)，试证明：D(X)?E(X?C)

28.设某校车上有50名职工，自校门开出，有10个停车点，如果某停车点没人下车，则不停车。设每位职工在每个停车点下车是等可能的，X表示停车次数，试求X的数学期望？

29.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(0,?),Y~N(0,?)，求：

222E(X2?Y2),D(X2?Y2)。

30.设随机变量X1,X2,?,X100相互独立，且都服从参数为1的泊松分布，试利用中心极限定理计算P{

31.船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于6的概率为p?0?Xi?1100i?120}

01，3若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角度大于6的概率是多少？

32.袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为0.01kg，一大盒内装200袋，求一大盒茶叶净重大于20.5kg的概率？

33.电冰箱的寿命服从指数分布，每台电冰箱平均寿命是10年。现工厂生产了1000台电冰箱，问10年之内，这些电冰箱出现故障的台数小于600台的概率？

34.设随机变量X的概率密度函数为

?ax2?bx?c0?x?1 f(x)??0其他?并且已知E(X)?0.5,D(X)?0.15，求常数a,b,c

35.把4只球随机地投到4个盒子中去，求空盒子个数的期望及方差？

36.掷两颗骰子，设X表示第一颗出现的点数，Y表示两颗中出现的较大的点数，试求：

E(X),D(X),E(Y),D(Y)

37.设随机变量X与Y相互独立，且它们的概率密度分别为

??2xe?xfX(x)????0试求Z?2?x?0?2ye?y,fY(y)???x?0?02y?0y?0

X2?Y2的均值？

38.设随机变量X与Y相互独立，且它们的概率密度分别为

?e?(y?5)?2x0?x?1fX(x)??,fY(y)??0其他??0试求Z?XY的数学期望E(XY)

y?5 y?539.已知随机变量X与Y的方差及相关系数分别为

D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4,试求D(X?Y),D(X?Y)

40.设随机变量X与Y之间存在线性关系：Y?a?bX,b?0，这里a,b为常数。试证明：它们之间的相关系数为?XY?1b?0 ???1b?0?41.将n只球（分别标号为1~n号）随机地放入n只盒子（分别标号为1~n号）。将某号码球装入同号码的盒子中，称为一个配对，用X表示配对的数目，求E(X)。

42.设随机变量X与Y相互独立，且E(X)?E(Y)?0,D(X)?D(Y)?1 求：E[(X?Y)]

43.设随机变量X与Y相互独立，并且都服从正态分布N(?,?)， 令??aX?bY,??aX?bY,这里，a,b为常数。试求?与?的相关系数？

44.设随机变量X表示由四个数字1，2，3，4中任意选取的数字，随机变量Y表示由其中任意选的不小于X的数字，试求：E(X),E(Y),D(X),D(Y),?XY,?XY

45.独立试验序列中，设事件A在各次试验中发生的概率为p，求事件A发生n次时已进行的试验次数的数学期望？

46.一个工人负责n台同类型机床的维修。这n台机床从左到右排列在一条直线上。相邻两台之间的距离都等于a，工人对某一台机床检修完毕，再到另一台先要求检修的机床去进行检修。假定n台机床中任何一台机床发生故障的概率相等，且相互独立。试计算这个工人检修一台机床要走的平均路程？

47.有五个相互独立的电子装置，它们的寿命Xi(i?1,2,?,5)都服从参数为?的指数分布。（1）如果将它们串联成整机，则其中任一装置发生故障，整机就不能工作；（2）如果将它们并联成整机，则当所有装置都发生故障时，整机才不能工作。在上述两种情况下，分别求整机寿命的数学期望？

22

第五章 样本、抽样分布及参数估计

??x??11．设总体X的概率密度为f(x;?)???0估计量？

2．设有总体X，且E(X),D(X)存在，试求E(X),D(X)的矩估计量？

3．设总体X在[a,b]上服从均匀分布，b未知；(x1,x2,?,xn)为X的样本值。求b的极大似然估计值？

0?x?1其中?是未知参数。求?的矩

其它?2?(??x)0?x??4．对容量为n的样本，求密度函数为f(x;?)???2中参数?的

?0其它?矩估计量？

5．在密度函数为f(x)?(??1)x,0?x?1中，参数?的极大似然估计量是什么？矩估计量是什么？

?1??f(x;?)?e,???x???，求参数?的极大似然估6．设总体X的概率密度为

2?计值？

7．设总体X的概率密度为

|x|??c?e?(??1)f(x;?)??0?估计量？

x?c,其中c?0为已知常数，未知参数??0，试求?的极大似然x?c8．设总体X的均值为?,(X1,X2,?,X9)为X的样本。试证Xi(i?1,2,?,9)和

111X2?X5?X9都是?的无偏估计量。 623

9．设(X1,X2)是总体X~N(?,1)的样本。试证下列统计量都是?的无偏估计量：

?1??211311?2?X1?X2，??3?X1?X2，并说明其中哪一个最有效？ X1?X2，?334422