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5．4 复数的几何表示
一、基础达标
1．复数z＝3＋i对应的点在复平面第几象限
( )
A．一 B．二 C．三 D．四 答案 D
解析 由i＝－1，z＝3－i，对应点坐标为(3，－1)． 2
2．当 3 ( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 D 解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)． 2 由 3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ( ) A．4＋8i C．2＋4i 答案 C 解析 A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. 4．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是 ( ) A．实轴 C．原点 答案 B 解析 a＝0时，z＝bi，复平面内的点z的轨迹是虚轴． 5．已知复数z＝a＋3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于________． 小初高教育精品资料 B．虚轴 D．原点和虚轴 B．8＋2i D．4＋i B．第二象限 D．第四象限 2 3 小初高教育精品资料 答案 －1＋3i 解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0，由|z|＝2知，a＋3＝2，解得a＝±1， 故a＝－1，所以z＝－1＋3i. 6．若复数(－6＋k)－(k－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________． 答案 (2，6)∪(－6，－2) 解析 ∵z位于第三象限， ??k－6<0， ∴?2 ?4－k<0，? 2 2 2 2 2 2 ∴2 7．复数z＝a－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，求|z|. 解 ∵复数z＝a－1＋(a＋1)i是纯虚数， ??a－1＝0，∴???a＋1≠0. 2 2 解得a＝1，∴z＝2i.∴|z|＝2. 二、能力提升 8．若θ∈?的点在 ( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B 解析 ∵θ∈? B．第二象限 D．第四象限 ?3π，5π?，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应 4??4? ?3π，5π?，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B. 4??4? 9．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的 ( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B ππ 解析 因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B， 22 sin Asin A＞cos B．cos B－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0， cos A所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B. B．第二象限 D．第四象限 小初高教育精品资料 小初高教育精品资料 10．复数z＝ 答案 三 解析 ∴z＝ 1 3<0，log3 <0， 2 1 3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限． 2 2 2 1 3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第________象限． 2 11．当实数m为何值时，复数z＝(m－8m＋15)＋(m＋3m－28)i在复平面内的对应点： (1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)． ??m－8m＋15>0 解 (1)要使点位于第四象限，须?2 ?m＋3m－28<0，???m<3或m>5 ∴? ?－7 2 ，∴－7 (2)要使点位于x轴负半轴上，须 ?m－8m＋15<0??2??m＋3m－28＝0 2 ?3 ，∴? ??m＝－7或m＝4 2 ，∴m＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m＋3m－28≥0， 解得m≥4或m≤－7. →→ 12．已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z. 解 根据题意可画图形如图所示： 设点Z的坐标为(a，b)， → ∵|OZ|＝|z|＝2，∠xOZ＝120°， ∴a＝－1，b＝3， 即点Z的坐标为(－1，3)，∴z＝－1＋3i. 三、探究与创新 13．试研究方程x－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为 2 a2－b2－5a2＋b2＋6＋2abi＝0 ?a2－b2－5a2＋b2＋6＝0?? ?2ab＝0 ， 小初高教育精品资料