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极射赤平投影CAD图解

2011-03-28 10:42:56| 分类: 摘抄 | 标签:投影 平面 直线 圆弧 夹角 |字号 订阅 一、序言

岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB50021-94)推荐法等,在计算边坡稳定性系数时,需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线(包括平面的法线)的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取,除此之外的几何参数,在没有发明极射赤平投影之前,都是用计算法求得,不仅它们的计算公式复杂,而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程,而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

二、极射赤平投影的基本原理

(一)投影要素

极射赤平投影(以下简称赤平投影)以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素,包括:

1.投影球(也称投射球):以任意长为半径的球。 2.球面:投影球的表面称为球面。

3.赤平面(也称赤平投影面):过投影球球心的水平面。

4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一(a)中ASBN、PSFN、NESW),所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆(如图一(a)中PSFN);当平面水平时,与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆(如图一(a)中NESW);当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆(如图一(a)中ASBN)。

5.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆,统称为小圆(如图一(b)、(c)中AB、CD、FG、PACB)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一(b)中DC);当平面水平时,与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中AB);当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一(b)中FG或图一(c)中PACB)。

6.极射点:投影球上两极的发射点(如图一),分上极射点(P)和下极射点(F)。由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点(F)把上半球的几何要素投影到赤平面上

的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。

7.极点:通过球心的直线与球面的交点称为极点,一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点(也就是极射点);水平直线交基圆上两点;倾斜直线交球面上两点(如图五中A、B)。

(二)平面的赤平投影

平面与球面相交成大圆或小圆,我们把大圆或小圆上各点和上极射点(P)的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。

1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化:倾斜平面的赤平投影为大圆弧(如图二中的NB′S);直立平面的赤平投影是基圆的一条直径(如图一(a)中的NS);水平面的赤平投影就是基圆(如图一中的NESW)。

2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化:直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧(如图三KD′H);倾斜平面的赤平投影有以下三种情况:⑴当倾斜小圆在赤平面以下时,投影是一个圆,且全部在基圆之内(如图三FG);⑵当倾斜小圆全部位于上半球时,投影也是一个圆,但全部在基圆之外;⑶当倾斜小圆一部分在上半球,另一部分在下半球时,赤平面以下部分的投影在基圆之内,以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时,其赤平投影为一条直线(如图一(c)中PACB的投影为AB);水平小圆的赤平投影在基圆内(如图四中A′B′),A′B′是一个与基圆同心的圆。

(三)直线的赤平投影

直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心;过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点,两点间距离等于基圆直径;倾斜直线的投影点有两个,一点在基圆内,另一个在基圆外,两点呈对蹼点,在赤平投影图上两点的角距相差180°(如图五)。

(四)吴氏网及其CAD制作

目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的,简称吴氏网;等面积投影网是由施密特发明的,简称施氏网。两者的主要区别在于:球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆,投影圆的直径角距相等,但由于在赤平面上所处位置不同,投影圆的大小不等,其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线,不成圆,但四级曲线所构成的图形面积是相等的,且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时,旋转操作显示其优越性,不仅作图方便,而且较为精确。而使用施氏网时,可以作出面、线的极点图或等密度图,能够真实反映球面上极点分布的疏密,有助于对面、线群进行统计分析,但其存在作图麻烦等缺点。

1.吴氏网的结构及成图原理

吴氏网(图六)由基圆、南北经向大圆弧(NGS)、东西纬向小圆弧(ACB)等经纬线组成。标准吴氏网的基圆

直径为20cm,经、纬线间的角距为2°。

(1)基圆,由指北方向(N)为0°,顺时针方向刻出360°,这些刻度起着量度方位角的作用; (2)经向大圆弧是由一系列通过球心,走向南北,分别向西和向东倾斜,倾角由0°到90°(角距间隔为2°)的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点(E点和W点)的距离分别代表各平面的倾角。如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜,倾角为30°。

(3)纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心O愈远,其所代表的球面小圆的半径角距就愈小,反之离圆心O愈近,则半径角距就愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也是2°,它分割南北直径线的距离,与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。如图六所示,ED=SH=WG=NF,角距都为30°。

2.吴氏网的CAD图解

绘制吴氏网,其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢?在没有CAD制图系统软件以前,人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制,其绘制过程很复杂。而在CAD制图系统软件下,绘制大圆弧和小圆弧是非常简的,下面就介绍它们的原理和绘制过程。

(1)绘制大圆弧的原理与步骤

要绘制大圆弧,应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B′(如图二所示),其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的,是已知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点B′,问题就迎刃而解。