图方法外，也可用下列公式计算：

（公式六） （公式七）

式中——平面倾角（°）； ——平面上直线的侧伏角（°）； ——直线的倾伏角（°）；

——平面倾向与直线倾向之差（°）。 7.两个平面交线的产状（如图十二（a））

例7：已知两个平面70°∠40°和290°∠30°，用赤平投影法求解这两个平面交线产状。 （1）按例1做法，分别绘制出两个平面的赤面投影大圆弧APB和CPD，两条大圆弧相交于P点，该点即为两个平面交线的赤平投影。

（2）连结OP，并量得OP的长度。然后用公式一求得交线的倾伏角为β=13.14°；OP所在径线方向即为交线的倾伏向，量得交线的倾伏向为365.15°。即两个平面交线产状为365.15°∠13.14°。

8．两个平面的夹角及其夹角的等分面（如图十二（b））

例8：已知条件同例7，用赤平投影法求解两个平面的夹角及其夹角的等分面。

（1）绘制两个平面的公垂面，由于以点P为投影的直线就是公垂面的法线，因此公垂面的产状为176.15°∠76.86°，按例1做法绘制公垂面的赤平投影大圆弧FIHG，与两个已知平面的赤平投影大圆弧分别相交于点H、点I。这两点所代表的直线产状分为：

直线H为96.27°∠36.96°；直线I为259.48°∠26.44°。

（2）点H、点I所代表的两条直线的夹角就是两个平面的夹角，可根据两条直线的产状，由公式五计算求得，结果为114.66°。也可先用公式六分别求出两条直线在公垂面上的侧伏角，分别为：直线H的侧伏角为38.128°；直线I的侧伏角为27.209°。

则两条直线的夹角为180°－（38.128°＋27.209°）＝114.66°。

（3）公垂面的投影大圆弧上点H、点I间弧段的中点K在两个平面的等分面的投影大圆弧上，投影点K的直线产状204.74°∠75.11°。点P也在等分面的投影大圆弧上，其产状也已求得（例7）。已知投影大圆弧上的两个点，就可按例4做法计算出等分平面的倾角和其赤平投影大圆弧的半径，并绘制出经过这两点的大圆弧QKM。该大圆弧对应的平面即为已知两个平面夹角的等分面，其产状为267.76°∠83.12°。

9.一条直线与一个平面的夹角（如图十三）

例9：一平面产状120°∠50°，一直线产状320°∠20°，用赤平投影法求解直线与平面的夹角。 （1）按例1做法绘制已知平面的赤平投影大圆弧ADB。 （2）按例2做法绘制已知直线的赤平投影，即投影点C。 （3）按例3做法绘制已知平面法线的投影极点P。

（4）按例4做法绘制经过点C、P的大圆弧CPD，其所代表的平面与已知平面垂直，其产状为244.06°∠56.28°。

用公式六分别求出直线C和直线P在平面CPD上的侧伏角，直线C的侧伏角为24.280°，直线P的侧伏角为50.606°，也就是平面法线与已知直线的夹角为50.606°－24.280°＝26.33°，因此已知直线与平面的夹角为90.00°－26.33°＝63.67°。

四、用赤平投影求解边坡稳定问题

在岩质边坡稳定性分析与计算中，赤平投影可用来初步判定边坡稳定性，求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数。

（一）边坡稳定性初步判别

图十四所示的边坡楔体，假定只有摩擦力抵抗滑动，且两个结构面的摩擦角相同，且都等于，则楔体可能滑动的条件是两个结构面交线的赤平投影，即它的投影点应落在坡面大圆弧与摩擦圆所围成的范围内（图十四(b)中阴影部分），即（其中 为在正交交线视图上的坡面倾角； 为结构面交线倾角；为结构面内摩擦角）。据此可以迅速判别楔体是否会产生滑动。

（二）求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数

边坡稳定性系数计算所需的几何参数包括平面和直线的产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面夹角等。除平面和直线的产状可现场量测外（平面和平面交线、平面法线也可用赤平投影法求解），其余几何参数都可用赤平投影法求解。前面已经介绍过这些几何参数的赤平投影求解方法，下面举例说明赤平投影在边坡稳定性系数计算中的具体应用。如图十五所示的边坡楔体，坡面、坡顶面、结构面A和B等产状及其它技术参数如表1。