根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程． 【考点5】一元二次方程的根与系数的关系问题

【例5】（2019?十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求a的取值范围；

（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值． 【答案】(1) a＜2；(2) ﹣1，0，1．

【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0， 解得a＜2；

（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30， ∴a

，∵a为整数，

∴a的值为﹣1，0，1．

点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．

【变式5-1】（2019?绥化）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值． 【答案】(1) k的取值范围为k(2) k的值为1．

【解析】（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0， 解得：x

，

∴k＝0符合题意；

当k≠0时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，

解得：k．

．

综上所述，k的取值范围为k

（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2

，x1x2

．

∵x1+x2+x1x2＝4， ∴

4，

解得：k＝1，

经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意． ∴k的值为1．

点睛:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）分k＝0及k≠0两种情况，找出k的取值范围；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2＝4，找出关于k的分式方程． 【考点6】一元二次方程的增长率问题

【例6】（2019?大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元

（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；

（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？

【答案】(1) 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10% (2) 预测2019年村该村的人均收入是26620元

【解析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x， 根据题意得：20000（1+x）2＝24200，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%． （2）24200×（1+10%）＝26620（元）． 答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．

点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．

【变式6-1】（2019?贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展

了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．

（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；

（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？ 【答案】(1) 该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20% (2) 2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元

【解析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x， 依题意，得：2500（1+x）2＝3600， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．

答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%． （2）3600×（1+20%）＝4320（元）， 4320＞4200．

答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．

点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点7】一元二次方程的面积问题

【例7】（2019?徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，

然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？

【答案】当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．

【解析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，

依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200， 整理，得：2x2﹣25x+50＝0， 解得：x1

，x2＝10．

当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．

答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．

点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

【变式7-1】（2019?襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，

宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？

【答案】小路的宽应为1m． 【解析】设小路的宽应为xm， 根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112， 解得：x1＝1，x2＝16． ∵16＞9，

∴x＝16不符合题意，舍去， ∴x＝1．

答：小路的宽应为1m．

点睛:本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 【考点8】一元二次方程的销售问题

【例8】（2019?东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产

品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？ 【答案】这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元． 【解析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个， 依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000， 整理，得：x2﹣360x+32400＝0， 解得：x1＝x2＝180． 180＜200，符合题意．

答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．