内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 配餐作业(二十六) 平面向量的概念及其线性运算
(时间：40分钟)
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反 C．|－λa|≥|a|
B．a与λa的方向相同 D．|－λa|≥|λ|·a
2
解析 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小。故选B。
答案 B
2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A．a C．c
B．b D．0
解析 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na。又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0。故选D。
答案 D
→|MD|→3→3→
3．设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，则的值22→
|BM|为( )
1
A. 3C．1
1B. 2D．2
解析 ∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD， ∴四边形MAEC为平行四边形， →1→1→→∴MD＝ME＝(MA＋MC)。
22→3→3→
∵MB＋MA＋MC＝0，
223→→→→∴MB＝－(MA＋MC)＝－3MD，
2
1
→→|MD||MD|1∴＝＝，故选A。 →→3|BM||－3MD|答案 A
→→→→→→
4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，→→→→
则AD＋BE＋CF与BC( )
A．反向平行 C．互相垂直
→→→→1→
解析 由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，
3→→
B．同向平行 D．既不平行也不垂直
BE＝BA＋AE＝BA＋AC， CF＝CB＋BF＝CB＋BA，
→→→→1→→→因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC＋BA)
31→→2→
＝CB＋BC＝－BC，
33
→→→→
故AD＋BE＋CF与BC反向平行。故选A。 答案 A
5．(2016·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边
→→→
1→3
→→→
1→3
→→→
上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝( )
2→1→A.AB－AD 331→2→B.AB－AD 332→1→C．－AB＋AD
331→2→D．－AB＋AD
33
解析 解法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，→→→→→1→→→→→2→→2?→1→?2→2→
所以BC＝GD＝AD－AG＝AD－AB，∴AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋?AD－AB?＝AB＋AD，于
2?3233?3
2
2→1→→→→1→→1?2→2→?→
是BF＝AF－AB＝AE－AB＝?AB＋AD?－AB＝－AB＋AD，故选C。
3?22?333
→→→→1→
解法二：BF＝BA＋AF＝BA＋AE
2→1?→1→→?＝－AB＋?AD＋AB＋CE?
22??→1?→1→1→?
＝－AB＋?AD＋AB＋CB?
23?2?→1→1→1→→→
＝－AB＋AD＋AB＋(CD＋DA＋AB)
2462→1→
＝－AB＋AD。故选C。
33答案 C
→→
6．(2017·天水模拟)A、B、O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关→
于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR＝( )
A．a－b C．2(a－b)
B．2(b－a) D．b－a
→→→→→→→→→
解析 PR＝OR－OP＝(OR＋OQ)－(OP＋OQ)＝2OB－2OA＝2(b－a)。故选B。 答案 B
7．(2016·日照模拟)在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，
c，若cAC＋aPA＋bPB＝0，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形
→→→→→→→→→
解析 如图，由cAC＋aPA＋bPB＝0知，c(PC－PA)＋aPA－bPC＝(a－c)PA＋(c－b)PC＝→→
0，而PA与PC为不共线向量，∴a－c＝c－b＝0，∴a＝b＝c。故选A。
→→→
3
答案 A
1??8．(2016·广东惠州三调)已知向量m＝?sinA，?与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，2??其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )
A.C.
π
6
π
3
B.D.π 4π 2
3
解析 ∵m∥n，∴sinA·(sinA＋3cosA)－＝0，
2∴
1－cos2A33
＋sin2A－＝0， 222
π?31?sin2A－cos2A＝1，sin?2A－?＝1。
6?22?π?π11π?∵A∈(0，π)，∴2A－∈?－，?，
6?6?6πππ
∴2A－＝，A＝，故选C。
623答案 C 二、填空题
→→→→→
9．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)。
1→→→→→→3?1?解析 由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－?a＋b?＝24?2?11
－a＋b。 44
11
答案 －a＋b
44
→→
10.(2017·包头模拟)如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若AM＝λAB→
＋μAC，则λ＋μ＝________。
1→1→1→→→→→→→→
解析 ∵AM＝(AB＋BH)＝[AB＋x(AB－AC)]＝[(1＋x)AB－xAC]，又∵AM＝λAB＋
2221→
μAC，∴1＋x＝2λ，2μ＝－x，∴λ＋μ＝。
2
4
1答案 2
→→→→
11．△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是________。
→→→→→→→→→→→→
解析 因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PB＋PC＝PB－PA，所以PC＝－2PA＝2AP，即P2S△PBCPC2
是AC边上的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝。
3S△ABCAC3
2
答案 3
→→→→→
12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________。
→→→→→→→→→解析 OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC， →
OB－OC＝CB＝AB－AC，
→→→→∴|AB＋AC|＝|AB－AC|。 →→
故AB⊥AC，△ABC为直角三角形。 答案 直角三角形
(时间：20分钟)
1．(2016·石家庄一模)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点
→→→→
O与点D不重合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) C．(1，2]
B．(1，＋∞) D．(－1,0)
→→→
→→→→→→→→→λ→
解析 设OC＝mOD(m>1)，因为OC＝λOA＋μOB，所以mOD＝λOA＋μOB，即OD＝OA＋
mμ→λμ
OB，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故选B。
mmm答案 B
1→S△ABD→→
2．(2016·安徽十校联考)已知A、B、C三点不共线，且AD＝－AB＋2AC，则＝( )
3S△ACD2
A. 3C．6
3B. 21D. 6
1→→→→
解析 如图，取AM＝－AB，AN＝2AC，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN。
3
5