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导数经典例题精讲

导数知识点

导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）limn??两个重要的极限

111?0，liman?0（|a|?1）limx?x0，lim?. ；（2）n??x?x0x?x0xnx0xsinx?1??1；：（1）lim（2）lim?1???e(e=2.718281845?). x?0x??x?x?函数极限的四则运算法则：若xlim?x0f(x)?a，limg(x)?b，则

x?x0(1)xlimlim?f?x??g?x???f?x??g?x??lim??a?b；(2)x??a?b;(3)x?x??x??x000f?x?a??b?0?. g?x?b数列极限的四则运算法则：若(2)lim?an?bn??a?b(3)limn??n??liman?a,limbn?bn??n??，则(1)

lim?an?bn??a?bn??；

ana??b?0?(4)lim?c?an??limc?liman?c?a( cn??n??n??bnb是常数)

f(x)在x0处的导数（或变化率或微商） f(x0??x)?f(x0)?yf?(x0)?y?x?x0?lim?lim. ?x?0?x?x?0?x?ss(t??t)?s(t)lim?lim.瞬时速度：??s?(t)??. t?0?t?t?0?t?vv(t??t)?v(t)lim?lim瞬时加速度：a?v?(t)??. t?0?t?t?0?tdydf?yf(x??x)?f(x)??lim?limf(x)在(a,b)的导数：f?(x)?y??. dxdx?x?0?x?x?0?x函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义

函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0). 几种常见函数的导数

(1) C??0（C为常数）.(2) (xn)'?nxn?1(n?Q).(3) (sinx)??cosx.(cosx)???sinx

(4)

(lnx)??11；(logax)??logae. (5) (ex)??ex; (ax)??axlna. xx导数的运算法则

u'u'v?uv'(v?0). （1）(u?v)?u?v.（2）(uv)?uv?uv.（3）()?2vv''''''复合函数的求导法则

设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数

'''，或写作yu'?f'(u)，则复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx?yu?uxfx'(?(x)?)f'(u?)'. x()

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1． f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 3第1页 共14页

．

[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

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2[解答过程] ?f?(x)?x?2,?f?(?1)???1??2?3.

2故填3.

例2.设函数f(x)?x?a,集合M={x|f(x)?0},P={x|f'(x)?0},若MP,则实数a的取值范围是 ( )

x?1A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由x?a?0,?当a>1时,1?x?a;当a<1时,a?x?1.x?1x?aa?1?x?a?x?1??x?a??y?,?y/????0. ??22x?1?x?1??x?1??x?1?/

?a?1.综上可得MP时,?a?1.考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3.已知函数f(x)?1312x?ax?bx在区间[?11)，，(1，3]内各有一个极值点． 322（I）求a?4b的最大值；

2（II）当a?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y?f(x)的图象（即

动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I）因为函数f(x)?1312x?ax?bx在区间[?1，(1，1)，3]内分别有一个极值点，所以32，，(1，3]内分别有一个实根， f?(x)?x2?ax?b?0在[?11)设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?a2?4b，且0?x2?x1≤4．于是

x2?3，即a??2，b??3时等号成立．故a2?4b的最大值0?a2?4b≤4，0?a2?4b≤16，且当x1??1，是16．

（II）解法一：由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是

y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x?21?a， 32因为切线l在点A(1，f(x))处空过y?f(x)的图象， 所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a]在x?1两边附近的函数值异号，则 32x?1不是g(x)的极值点．

而g(x)?131221x?ax?bx?(1?a?b)x??a，且 3232第2页 共14页

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g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．

若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．

所以1??1?a，即a??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?13x?x2?x． 321?a] 3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]． 322因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m1?1?m2）．

当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0； 或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0． 设h(x)?x2??1???3a??3a?x?2????，则 2??2?当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； 或当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0． 由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h(1)?2?1?1?2所以a??2，又由a?4b?8，得b??1，故f(x)?3a?0， 213x?x2?x． 3例4.若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）

A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0. 故选A.

例5．过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直线的方程为 ( )

2A.y=-3x或y=1x B. y=-3x或y=-1x C.y=-3x或y=-1x D. y=3x或y=1x

3333[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为y?kx,?kx?y?0. 又?x?2?2??y?1?2?5,?圆心为?2,?1?.

2?2k?1k2?11?y?x,或y??3x.

3?51,?3k2?8k?3?0.?k?,k??3. 23故选A.

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解法2:由解法1知切点坐标为(1,?3),?3,1?,由

2??2?22?5??(x?2)??y?1?????,??x??2?x22//?2(x?2)?2?y?1?yx/?0,x?2?yx??.y?1/

1?.31(,)322?k1?yx/13(,?)22??3,k2?yx/1?y??3x,y?x.3故选A.

例6.已知两抛物线C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a, a取何值时C1，C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a求导数.

解答过程：函数y?x2?2x的导数为y'?2x?2，曲线C1在点P(x1,x12?2x1)处的切线方程为

22y?(x1?2x1)?2(x1?2)(x?x1)，即 y?2(x1?1)x?x1 ①

曲线C1在点Q(x2,?x22?a)的切线方程是y?(?x2?a)??2x2(x?x2)即

y??2x2x?x22?a ② 若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得

x1?1??x2,?x12?x22?1，消去x2得方程，2x1?2x1?1?a?0

2若△=4?4?2(1?a)?0，即a??1时，解得x1??1，此时点P、Q重合.

22∴当时a??1，C1和C2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为y?x?1 .

24考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式. 典型例题

例7．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8 .设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围．

思路启迪：利用函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值构造方程组求a、b的值．

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2y y?f?(x)b aO x 厚德启智 心怀天下

解答过程：（Ⅰ）f?(x)?6x2?6ax?3b，

因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．

即??6?6a?3b?0，

?24?12a?3b?0．解得a??3，b?4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，

f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)．

当x?(0，1)时，f?(x)?0； 当x?(1，2)时，f?(x)?0； 当x?(2，3)时，f?(x)?0．

所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c． 则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c2恒成立，

2所以 9?8c?c，

解得 c??1或c?9，

因此c的取值范围为(??，?1)?(9，??)．

例9.函数y?2x?4?x?3的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

2x?4?0得，解答过程：由?x??2，即函数的定义域为[?2,??). ??x?3?0

y'?112x?3?2x?4， ??2x?42x?322x?4?x?32x?8， 2x?3?2x?4又2x?3?2x?4??当x??2时，y'?0，

?函数y?2x?4?x?3在(?2,??)上是增函数，而f(?2)??1，?y?2x?4?x?3的值域是[?1,??).

16例10．已知函数f?x??4x3?3x2cos??3cos?，其中x?R,?为参数，且0???2?．

（1）当时cos??0，判断函数f?x?是否有极值；

（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数?的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数?，函数f?x?在区间?2a?1,a?内都是增函数，求实数a的取值范围． [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos??0时，f(x)?4x3，则f(x)在(??,??)内是增函数，故无极值.

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