中考数学复习动点问题的解题技巧 下载本文

在运动中分析 在静态中求解

动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型.这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件,给出一个或多个变量,要求确定变量与其他量之间的关系,或变量在一定条件为定值时,进行相关的几何计算和综合解答,解答这类题目,一般要根据点的运动和图形的变化过程,对其不同情况进行分类求解,本文以一道中考题为例,谈谈此类问题的思路突破与解题反思,希望能给大家一些启发.

题目 如图1,已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于点C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于点Q,作点P、Q关于直线OC的对称点M、N.设点P运动的时间为t(0

(1)求C点的坐标,并直接写出点M、N的坐标(用含t的代数式表示). (2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S. ①试求S关于t的函数关系式;

②在直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回答:S是否 有最大值?若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由.

一、探求解题思路

1.利用基础知识轻松求解

由题意不难发现第1问是对基础知识的考查,有多种方法,考生可自行选择解法, 简解1 可通过作辅助线,过点C作CF上x轴于点F,CE⊥y轴于点E,由题意,易

44,). 33简解2 由点A、B的坐标可得直线AB的解析式y=-2x+4;由OC是∠AOB的平

44分线可得直线OC的解析式y=x;联立方程组轻松解得点C的坐标(,).

33关于求点M、N的坐标,是对相似及对称性的考查,根据相似可得P(0,2t),Q(t,0),根据对称性可得M(2t,0),N(0,t).这样,第1问轻松获解.

2.动静结合找界点,分类讨论细演算

第2问的第一小题中,所求函数关系式为分段函数,需要分类讨论,这是本题的难点之一;而关键是动静结合找界点,得出t=1时重叠部分的关系会发生变化,这是本题的难点之二.解答时需动手画出草图,随着点M、N的位置的变化,△MNC的位置也随之发生变化,△MNC与△OAB重叠部分的面积S也发生变化.S可能会存在两种情形:①△OAB将△MNC全部覆盖;②△OAB将△MNC部分覆盖;点M从点O出发运动到点A时,即t=1时重叠部分的关系会发生变化,函数关系式也随之改变.

由t=1这个界点确定两个范围,以此界值进行分类讨论:

当0

44结合点C的坐标(,),可得

33S△CMN=-t2+2t;

当1

知四边形OECF为正方形,设正方形边长为x.由比例式求出点C的坐标(

分覆盖,则重叠部分面积为S△CDN.

另一个关键是要用t的代数式表示D点的横坐标,即△BDN的高,这是本题的难点之 三.

1x+t. 28?2t再结合直线AB的解析式y=-2x+4,联立方程组,解出D点的横坐标为,则

3重叠部分面积为

S△CDN=S△BDN-S△BCN 18 ?t2?2t?

33综上所述,

由M(2t,0),N(0,t)可先用t的代数式表示直线MN的解析式y=-

??t2?2t(0?y?1)?S??12 8t?2t?1?t?2???3?3由函数解析式及其自变量的取值范围可画出函数图象,观察图象可知,当t=1时,S

有最大值,最大值为1.

二、规范解答问题

(1)如图2,过点C作CF⊥x轴于点F,CE⊥y轴于点E,由题意,易知四边形OECF为正方形,设正方形边长为x.

∴OP=2DQ.

∵P(0,2t),∴Q(t,0).

∵对称轴OC为第一象限的角平分线, ∴对称点坐标为:M(2t,0),N(0,t).

(2)①当0

当1

设直线MN的解析式为y=kx+b,将M(2t,0)、N(0,t)代入,得

?2tk?b?0 ?b?t?

综上所述,

??t2?2t(0?y?1)?S??12 8t?2t?1?t?2???3?3②画出函数图象,如图5所示:

观察图象可知,当t=1时,S有最大值,最大值为1. 三、解题反思 1、关键的一步

本题在突破第2问时,能否得出t=1时重叠部分的关系会发生变化,这是决定性的一