第02节 等差数列及其前n项和

【考纲解读】

考 点 考纲内容 1.理解等差数列的概念，掌2014浙江文19； 等差数列的概握等差数列的通项公式； 2015浙江文10,17；理3； 的计算. 念与运算 2.了解等差数列与一次函2016浙江文8；,理6； 数. 2017浙江6. 2013浙江文19；理18； 1.掌握等差数列前 n 项和2014浙江文19； 等差数列的前公式及其应用； 2015浙江理3； n项和 2.会用数列的等差关系解决2016浙江文8；,理6； 实际问题. 2017浙江6. 【知识清单】

一．等差数列的有关概念

1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为

项和公式的综合应用. (2)等差数列的通项公式、前n应用; 3.特别关注: (1)方程思想在数列计算中的2等差、等比数列的综合问题. 1.利用方程思想进行基本量五年统计 2013浙江文19；理18； 分析预测 an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1).

2.等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d?0为递增数列，d?0为常数列，d?0 为递减数列.

3.等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中A?a?b . 2a，A，b成等差数列?A?a?b. 24.等差数列的前n和的求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 225.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

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6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 对点练习：

【2017届浙江省温州市二模】在等差数列【答案】

中，若

，则

_______.

二、等差数列的前n项和

等差数列的前n和的求和公式：Sn?对点练习：

【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若Sk?1?4，

n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22Sk?9，则ak?__________， a1的最大值为__________．

【答案】 5 4.

【解析】ak?Sk?Sk?1?5，因为Sk?三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：

（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：a1，a3，a5，a7，……；a3，

k?a1?5?2?9，又k的最小值为2，可知a1的最大值为4.

a8，a13，a18，……；

an?am(m?n)；

n?mq?N?且m?n?p?q，（4）在等差数列?an?中，若m，则am?an?ap?aq,特殊地，2m?p?qn，p，

（3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?时，则2am?ap?aq，am是ap、aq的等差中项.

（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等差数列. （6）两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an?bn}仍为等差数列． （7）若数列{an}是等差数列,则{kan}仍为等差数列．

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2．设数列{an}是等差数列，且公差为d，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇-S偶?nd； ②

S奇San（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n?1项，则①S偶?S奇?an?a中(中间项)；②奇?. ?n；

S偶n?1S偶an?13.ap?q,aq?p?p?q?,则ap?q?0,Sm?n?Sm?Sn?mnd.

4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．

5.若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Sn'，则

amS2m?1?. bmS'2m?16．等差数列的增减性：d?0时为递增数列，且当a1?0时前n项和Sn有最小值．d?0时为递减数列，且当a1?0时前n项和Sn有最大值． 对点练习：

1.在等差数列?an?中，已知a3?a8?10，则3a5?a7= （ ） A．10 B．18 C．20 D．28 【答案】C

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5?S9，且a1?0，则Sn中最大的是（ ） A．S6 B．S7 C．S8 D．S15 【答案】B

【解析】由S5?S9,得a6?a7?a8?a9?2?a7?a8??0,由a1?0知,a7?0,a8?0,所以S7最大，故B正确.

【考点深度剖析】

等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．

【重点难点突破】

考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算

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