华师一附中高三一轮复习——直线参数方程t的几何意义专题研究
一、求直线上点的坐标
例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在 x轴方向的分速度是?3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。
?x = x0 +at，
分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程?(t是参数)。
?y = y0 +bt
?x = 1 ? 3 t，
解：由题意知则直线PQ的方程是?，其中时间t 是参数，将t=3s代入得Q（?8，12）。
?y = 2 + 4 t
例2．求点A（?1，?2）关于直线l：2x ?3y +1 =0的对称点A' 的坐标。
?
解：由条件，设直线AA' 的参数方程为 ?
?
∵A到直线l的距离d = 二、求解中点问题
2
t ，13
(t是参数)， 3
y = ?2 + t
13x = ?1 ?
510334， ∴ t = AA' = ，代入直线的参数方程得A' (? ，)。
13131313
y2
例3．已知双曲线 x ? = 1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。
2
2
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。 解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是??sin2θ) t2 +2(2x0cosθ ?y0sinθ)t + (2x02 ?y02 ?2) = 0，
由题意t1 +t2=0，即2x0cosθ ?y0sinθ =0，得tanθ =
2x0。 y0
?x = x0 +t cos θ，
(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ
?y = y0 +t sin θ
又直线P1P2的斜率 k = tan θ =
y ?y0，点P（2，1）在直线P1P2上， x ?x0
∴1 ?y02x0 = ，即2x2 ?y2 ?4x +y = 0为所求的轨迹的方程。 2 ?x0y0
三、求定点到动点的距离
?x =1 ?t，
例4．直线l过点P(1，2)，其参数方程为?(t是参数)，直线l与直线 2x +y ?2 =0 交于点Q，求PQ。
?y =2 +t
?x =1 ?22t'，3232
解：将直线l的方程化为标准形式?，代入 2x +y ?2 =0得 t' = ，∴ PQ = | t'| = 。
222
?y=2 + 2t'
?
例5．经过点P(?1，2)，倾斜角为 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PA · PB的值。
4
?x = ?1 + 22 t，
解：直线l的方程可写成?，代入圆的方程整理得：t +
2
?y=2 + 2 t
2
2t?4=0，设点A，B对应的参数分别是
t1 ，t2，则t1 +t2 = ?2，t1 ·t2 = ?4，由t1 与t2的符号相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 ?t2| = (t1 +t2)2?4 t1 ·t2 = 32，PA · PB =| t1 · t2 | = 4。
点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
四、求直线与曲线相交弦的长
例6．已知抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：AB =
分析：弦长AB = |t1 ?t2|。
2p
。 sin2 θ
?x = p +t cos θ，
2解：由条件可设AB的方程为?(t是参数)，代入抛物线方程，得 t2 sin2 θ ?2pt cos θ ?p2 = 0，由?y = t sin θ
2pcos θ?t +t = ，12?sin2 θ
韦达定理：?，∴ AB = |t1 ?t2| = (t1 ?t2)2 ?4 t1· t2 = p2
t2 = ? 2?sin θ?t1·
4p2cos2θ4p22p
+2 = 2。 4sinθsinθsinθ
例7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA =2FB，求则椭圆的离心率。
分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的 t1= ?2t2或|t1| =2|t2|。
?x = ?c + 1 t，?2xy
解：设椭圆方程为 2 + 2 = 1，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为?，代入椭圆整理可得：
ab3??y = 2t
2
2
13
(b2 +a2)t2 ? b2ct ?b4 = 0，由于t1= ?2t2，则 44
???
b2c
t1 +t2 = = ? t2 ①，
1232b +a44123222
，①×2+②得：2c= b + a，将b2 =a2 ?c2代入， 4
?b44
t1·t2 = ? = ?2 t22 ②
1232b +a44
2
2
2
2
2
c242
8 c = 3 a + a ?c，得 e = 2 =，故e = 。
a93
在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。