例2已知数列xn?1，证明limxn?0. n??2n例3 求下列函数的极限： 4?7n21?2?3?...?n（1）lim2 ; （2）lim; n??n??n?3n2（3）limn???1?111n?1???...? ; （4）lim??; n??1?2n2?33?4(n?1)?n??(5) limn???1??11n?1?n; （6）lim?1??2?...?n?1?.n??3? ?33?

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授课序号03

教 学 基 本 指 标 教学课题 第一章 第三节 函数的极限定义和计算 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 极限运算性质，极限与左右极限关系 课的类型 复习、新知识课 教学手段 黑板多媒体结合 教学难点 极限定义 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解极限的概念(对极限的?-X，?-?定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、自变量趋于无穷大时的极限 定义1 设函数f?x?当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数?（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式x?X时，对应的函数值f?x?都满足不等式f?x??A??，则A就叫做函数f?x?当x???时的极限，记作 x???limf?x??A，或f?x??A(x???). 定义1也可简述为 ???0，?X?0，当x?X时，恒有f?x??A??， 则limf?x??A. x???2、自变量趋于有限值时的极限 定义2 设函数f?x?在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数?（不论它多么小），总存在正数?，使得当x满足不等式0?x?x0??时，对应的函数值f?x?都满足不等式f?x??A??，则称A为函数f?x?在x?x0时函数的极限，记作 x?x0limf?x??A或f?x??A(x?x0). 定义2也可简述为：如果 ???0，???0，当0?x?x0??时，恒有f?x??A??， 那么limf?x??A. x?x0 6

二、定理与性质： 定理1 limf?x??A?limf?x??A且limf?x??A. x??x???x???定理2 （极限的四则运算法则） 设limf?x??A，limg?x??B，则 x?x0x?x0（1）lim??f?x??g?x????A?B?limf?x??limg?x?; x?x0x?x0x?x0（2）lim??f?x??g?x????A?B?limf?x??limg?x?; x?x0x?x0x?x0limf?x?f?x?Ax?x??0(B?0). (3) limx?x0g?x?Blimg?x?x?x0推论 若limf?x?，limg?x?存在，则 x?x0x?x0（1）lim???f?x???g?x?????limf?x???limg?x?； x?x0x?x0x?x0f?x????limf?x??(n?Z?)； （2）lim?????x?x0?x?x0?nn（3）若f?x??0，则limx?x0f?x??limf?x?. x?x0上述极限中将“x?x0”改为“x??”，结论仍然成立.（证明过程有所差别） 定理3（复合函数的极限运算法则） 设函数y?f??g?x???是由函数u?g?x?与y?f?u?复合而成的，f?limg?x??u0，limf?u??A，且存在?0?0，当x?U?x0,?0??g?x???在点x0的去心邻域内有定义，若x?x0u?u0时，有g?x??u0，则 x?x0olimf?limf?u??A. ?g?x????u?u0 三、主要例题： 例1 证明limsinx?0. x??xx?x0例2 证明limx?x0. 例3 证明 当a?1时，lima?1. x?0x例4 证明limx?x0x?x0?x0?0?. x2?1例5 求 lim2. x?1x?2x?3

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(1?x)(1?3x)例6 计算 lim. 2x?1(1?x)例7 求极限limln?x?1?. x?0例8 求极限limx?0?x2?4?2. ?x2?1例9 求极限 lim. x?12(x?1)例14 (1) 求极限limx?0x2x?4?22; (2) 求极限limxx?4?22x???. 例15 已知lim(5x?ax2?bx?c)?2, 求a,b之值. x???

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