第三讲 点共线、线共点

在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。

1. 点共线的证明

点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。

例1 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，

BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。 证 连AK，DG，HB。

G由题意，ADECKG，知四边形AKGDD是平行四边形，于是AKDG。同样可证

KB行四边形，其对AKHB。四边形AHBK是平ACH角线AB，KH互相平分。而C是AB中点，线

E段KH过C点，故K，C，H三点共线。

F

例2 如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上

一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。

证 如图，连AC，DF，DE。

因为M在

O上，

CFBMEOAD则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB， 有△AMC∽△ACF，得

MCCFCF??。 MACACD又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得

MCACAD??。 MAAEAECFAD?所以，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽ CDAE△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线。

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例3 四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的

延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。 证 如图。 FA连接PQ，并在PQ上取一点M，使得

DGB，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另CQ易如 一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。B(E')EQE2=QM·QP=QC·QB ①

M∠PMC=∠ABC=∠PDQ。

从而C，D，Q，M四点共圆，于是

PM·PQ=PC·PD ② 由①，②得

PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB， P即PQ2=QC·QB+PC·PD。

易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有

PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2，

即PE’·PF=PQ2-QF2。又

PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)

=PF·(PG－GF)，

从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。 所以P，E，F三点共线。

例4 以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交

圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。

证 如图，连AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF，

延长FC交BE于G。 A易如OA丄AP，OB丄BP， FCDPOF丄CP，所以P，A，F，O，B

五点共圆，有∠AFP=∠AOP=∠POB= O∠PFB。

GEB又因CD∥BE，所以有

∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB，

而FOG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF， 所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线。

2. 线共点的证明

证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。

例5 以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。

△ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。

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证 如图。延长HA到M， M使AM=BC。连CM，BM。 设CM与BF交于点K。 E 在△ACM和△BCF中， GAC=CF，AM=BC，

A∠MAC+∠HAC=180°， DFK∠HAC+∠HCA=90°，

并且∠BCF=90°+∠HCA， BCH因此∠BCF+∠HAC=180°

∠MAC=∠BCF。

从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB。

所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°， 即 BF丄MC。

同理CD丄MB。AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点。

例6 设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又设D，E分别

是△APB及△APC的内心。证明：AP，BD，CE交于一点。

证 如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T。

连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于AN。

易知P，R，A，S；P，T，B，R； RMNSDP，S，C，T分别四点共圆，则 E ∠APB－∠ACB=∠PAC+∠PBC P=∠PRS+∠PRT CBT=∠SRT。

同理，∠APC－∠ABC=∠RST，

由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。 又RT=PBsinB，ST=PCsinC， 所以PBsinB=PCsinC，那么

PBPC?。 ABAC 由角平分线定理知

ANACABAM???。 NPPCPBMP 故M，N重合，即AP，BD，CE交于一点。 例7

O1与

O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，R分别为

O1，

O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。

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