2.1.2.2 指数函数图象与性质的应用

A级：基础巩固练

一、选择题

1．函数f(x)＝a－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

x

答案 C

解析 ∵f(1)＝a－a＝0，∴函数f(x)＝a－a(a>0且a≠1)的图象过(1,0)点，故C正确．

2．设函数f(x)＝a－|x|1

x(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则( )

B．f(1)>f(2) D．f(－3)>f(－2)

A．f(－1)>f(－2) C．f(2)

1－2|x|

解析 由f(2)＝4得a＝4，又∵a>0，∴a＝，f(x)＝2，∴函数f(x)为偶函数，

2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选D.

?a，x>1，?

3．若函数f(x)＝?

?－3ax＋1，x≤1?

x

是R上的减函数，则实数a的取值范围是

( )

?2?A.?，1?

?3??3?B.?，1? ?4?

?23?C.?，? ?34?

答案 C

?2?D.?，＋∞? ?3?

0

解析 若f(x)在R上为减函数，则?2－3a<0，

??－3a＋1≥a，23

解得

34

121

?2?3?1?3?1?3

4．设a＝?? ，b＝?? ，c＝?? ，则a，b，c的大小关系是( )

?3??3??3?A．a>c>b C．c>a>b 答案 A

B．a>b>c D．b>c>a

?2?x?1?x解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝??和y＝??的图象(图略)，由图象可知

?3??3?

1121

?2?3 >?1?3 ，?1?3 c>b.故选A. ?3??3??3??3?????????

5．函数f(x)＝

1

在(－∞，＋∞)上( ) 2＋1

xA．单调递减无最小值 C．单调递增无最大值 答案 A

B．单调递减有最小值 D．单调递增有最大值

1x解析 ∵u＝2＋1为R上的增函数且u>0，∴y＝在(0，＋∞)上为减函数，即f(x)＝

u1

在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值． 2＋1

x二、填空题

?1?x6．已知函数y＝??在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为

?3?

__________．

答案 12

?1?x解析 ∵函数y＝??在定义域内单调递减，

?3??1?－1?1?－2

∴m＝??＝3，n＝??＝9.

?3??3?

∴m＋n＝12.

7．已知函数f(x)＝a(a＞0，且a≠1)满足f(－2)＞f(－3)，则函数g(x)＝a1－x2的单调增区间是________．

答案 [0，＋∞)

解析 ∵f(－2)＞f(－3)，∴a＞a，∴0＜a＜1.令t＝1－x，则y＝a.∵y＝a是减函

2

2

3

2

－xtt数，t＝1－x的减区间是[0，＋∞)，∴g(x)＝a21－x的增区间是[0，＋∞)．

8．下列说法中，正确的是________(填序号)． ①任取x>0，均有3>2； ②当a>0，且a≠1时，有a>a； ③y＝(3)是增函数； ④y＝2的最小值为1；

⑤在同一平面直角坐标系中，y＝2与y＝2的图象关于y轴对称． 答案 ①④⑤

解析 任取x>0，均有3>2，即①正确； 当a>1时，a>a，当0

3

2

3

2

|x|

－x3

2

xxx－xxxy＝(3)－x是减函数，③错误； y＝2|x|的最小值为1，④正确；

?1?xx－x在同一平面直角坐标系中，y＝2与y＝2＝??的图象关于y轴对称，⑤正确．故正

?2?

确的是①④⑤.

三、解答题 9．已知f(x)＝x?

?x1＋1?.

??2－12?

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)证明f(x)>0.

解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． 1?x2＋1?1

(2)f(x)＝x?x＋?＝·x，

?2－12?22－1

xf(－x)＝－·x2－x＋1x2x＋1

＝·x＝f(x)， －x22－122－1

∴f(x)为偶函数．

(3)证明：f(x)＝·x，

22－1当x>0时，2－1>0，则f(x)>0； 当x<0时，2－1<0，则f(x)>0.

xxx2x＋1