第一章

习题1 证明e??恒等式eijkeist??js?kt??ks?jt [证明]

?ii?is?it??ji?js?jt?ki?ks?kt??ii?js?kt??ks?jt??ji??is?kt??ks?it???ki?is?jt??js?it?3?js?kt?3?ks?jt??js?kt??ks?jt??ks?jt??js?kt??js?kt??ks?jteijkeist????

习题2 证明若aij?aji;bij??bji，则aijbij?0 [证明]

?aij?aji;bij??bji?aijbij??ajibji，?aijbij?ajibji?aijbij?apqbpq?0 又因为所有的指标都是哑指标，apqbpq?aijbij，所以2aijbij?0，即aijbij?0

习题3 已知某一点的应力分量?xx，?yy，?zz，?xy不为零，而?xz??yz?0，试求过该点和z轴，与x轴夹角为?的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为?的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式，?(?)j??i?ij，可求得该面上的应力为

?(?)1??j?1j??xxcos???xysin? ?(?)2??j?2j??yxco?s??yysi?n ?(v)3??j?3j?0 由斜面正应力表达式?n??ij?i?j，可求得正应力为

?n??xxcos2??2?xycos?sin???yysin2?

剪应力为

??σ(n)?σn?σ(n)22??n?1(?yy??xx)sin2???xycos2? 2

习题4 如已知物体的表面由f(x,y,z)?0确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷p?x,y,z?。试写出其边界条件。 [解] 物体表面外表面法线的方向余弦为

??l?cos?n,x???2?fz?2?fx?2?fy???fy?m?cos?n,y???

222??fz??fx??fy?fz??n?cos?n,z????2?fz?2?fx?2?fy?fx?带入应力边界条件，Ti??ijnj,?i,j?1,2,3?，得

??xy?fz??xz?0?fx???xx?p??fy????yy?p?fz??yz?0? fx??yx?fy??yy?fz???zz?p??0?fx??xz?fy????

习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为?xx，?yy，?zz，?xy，?xz，?表示的应力分量。

[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：

r θ z x cosθ -sinθ 0 y sinθ cosθ 0 z 0 0 1 yz，试求该点以柱坐标

由应力分量转换公式?m'n'??ij?m'i?jn'，求得

?rr??xxcos2???yysin2??2?xysin?cos?

?????xxsin2???yycos2??2?xysin?cos?

?zz??zz

?r????xxsin?cos???yysin?cos???xy(cos2??sin2?)???r

??z??yxcos???zxsin???z? ?zr??yzsin???zxcos?

利用三角公式可将上面的式子改写为

?rr??????xx??yy2?xx??yy2???xx??yy2?xx??yycos2???xysin2? cos2???xysin2?

?zz2??zz

?r????xx??yy2sin2???xycos2?

??z??yxcos???zxsin???z?

?zr??yzsin???zxcos?

习题6 一点的应力状态由应力张量??ij?求常数a，b，c，以使八面体面n?13a??????a???b?c??b???c??给定，式中，a，b，c为常数，?是某应力值，???(e1?e2?e3)上的应力张量为零

[解] 由斜面应力公式的分量表达式，?(?)j??i?ij，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：

13(??a??b?)?0,13(a????c?)?0,13(b??c???)?0

解得a?b?c??

1 2习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力?1，?2，?3必为实根 [证明]

（1）设任意两个不同的主应力为?k、?l，对应的主方向为nk、nl。根据主应力定义有：

σ(k)?nk?σ??knk， σ(l)?nl?σ??knl

将以上两式分别点乘nk和nl再相减，得

nk?σ?nl?nl?σ?nk??knk?nl??lnl?nk

σ是对称应力张量，上式可改写为

0?(?k??l)nk?nl

所以应力的三个主方向互相垂直

（2）设任意两个不同的主应力为?k、?l，对应的主方向为nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2) ?nk?nl?0,?l1l2?m1m2?n1n2?0

若?1为复数，则?2为其共轭复数，从而方向余弦nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2)互为共轭 ?l1l2?m1m2?n1n2?0 与主方向相互垂直矛盾 所以三个主应力必为实数

习题8 证明球形应力张量?mΙ在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为?m

[证明] 球形应力张量?mΙ??me1e1??me2e2??me3e3，设任意斜面的方向余弦为n?l,m,n? 由斜面应力公式 σ(n)?σ?n，得σ(n)?l?me1?m?me2?n?me3 由斜面正应力公式 σn?σ(n)?n，得σn?(l2?m2?n2)?m??m 由斜面剪应力公式，得??σ(n)?σn?σ(n)

习题9 求应力偏量张量的不变量

1[解] 应力张量σ可分解为球形应力张量?mΙ和应力偏量张量S，(?m?(?11??22??33))

32222??n?(l2?m2?n2)?m??m?0

应力偏量张量S?(Sij)?(?ij??ij?m)，其主应力方程为n?S?Snn，即ni(Sij?Sn?ij)?0(j?1,2,3)