的场强向左，取向右的方向 为正，可得 图14.5

E1 - E2 – E = 0， 即 σ1 - σ2 – σ = 0，

或者说 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为 q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．

13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为

120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？

[解答]由于左板接 地，所以σ图14.6

1 = 0．

由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．

由于两板带等量异号的电荷，所以

σ2 = -σ3．

两板之间的场强为 E = σ3/ε0，

而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为 σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)， σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．

13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间 电容可用公式C=4πε0R2 RR表示．

2-1

（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2） [证明]方法一：并联电容法．在 外球外面再接一个 半径为R3大外球

壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为 C1

121=4πε0

1/R1/R=4πεRR0 1-2R2-R1

外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电 容为 C2=4πε1 1/R． 2-1/R3

外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为 C=CR2

1+C2=4πεR10 R+4πε0R2 2-R1 =4πε2

0R2R． 2-R1

方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为 qq`4πε+ 0R2 4πε=0， 0R1

因此感应电荷为

q`=- R1 Rq． 2

根据高斯定理可得两球壳之间的场强为

E=

q`4πε2=-R1q2 ， 0r4πε0R2r

负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．

取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为 R1 R1 U=

l=R?E?d2 R?Edr 2 R1 = - R1q R?(2

4πε2 )dr 0R2r =

R1q4πε(1-1 )=(R2-R1)qR2 0R2R1R24πε02 球面间的电容为 C=qU=4πε2 0R2 R．

2-R1

13．8 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？

[解答]球形电容器的电容为 C=4πε1

-1/R=4πεR1R20 1/R0．

12R2-R1

对于半球来说，由于相对面积减少了一 半，所以电容也减少一半： Cπε0R1R2 1= 2R．

2-R1

当电容器中充满介质时，电容为： C2πε0εrR1R2 2= RR．

2-1

由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：