第二部分图形运动中的函数关系问题

这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中,探求两个变量之间的函数关系,并根据实际情况确定自变量的取值范围,进而在一般性的基础上探求符合条件的特殊性.探求符合条件的特殊性一般和数形结合思想联系在一起.

由比例线段产生的函数关系问题

图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.

产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和.

由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用.

类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边.如图1所示,已知点A的坐标为(3, 4),点B是x轴正半轴上的一个动点,设OB=x, AB=y,那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理,就可以得到y关于x的函数关系式.

类型二,图形的翻折.已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示, AB=5,点O沿直线EF翻折后,点O的对应点D落在AB边上,设AD=x, OE=y,那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式.

图1 图2

由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.

一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.

一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.

关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.

例1 2016年哈尔滨市中考第27题

如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax+2ax+c经过A(-4, 0)、 B(0, 4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 点P是第二象限抛物线上的一个动点,连结EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);

(3) 在(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连结DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.

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图1 备用图

请打开几何画板文件名“16哈尔滨27”,拖动点P运动,可以体验到,△PEK与△EFN保持全等.△ENH保持等腰直角三角形,PH与x轴始终平行.当PG经过点Q时,四边形PDQH是平行四边形.

1. 第(2)题,过点E构造以PE、 EF为斜边的直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样就得到了直角三角形全等,把直角边可以用t表示出来了.

2. 第(3)题中的PH与x轴始终是平行的,而且点G是DH的中点,当PG经过点Q时,四边形PDQH是平行四边形.

例2 2016年上海市中考第25题

如图所示,梯形ABCD中,AB∥DC, ∠B=90°, AD=15, AB=16, BC=12.点E是边AB上的动点,点F是射线CD上一点,射线ED与射线AF交于点G,且∠AGE=∠DAB.

(1) 求线段CD的长;

(2) 如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形,求线段AE的长;

(3) 当点F在边CD上(不与点C、 D重合),设AE=x, DF=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.

请打开几何画板文件名“16上海25”,拖动点E在AB上运动,可以体验到,△AEG与△DEA保持相似,以AE为腰的等腰三角形AED存在两种情况.

1. 因为△AEG∽△DEA,把讨论等腰三角形AEG转化为讨论等腰三角形DEA.

2. 由△AEG∽△DEA,△AEG∽FDG,根据对应线段成比例,经过变形整理,可以得到y关于x的函数关系式.