专题二：直线与圆锥曲线的位置关系

编者 dghu2001 经备课组长审核

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一、选择题.

1. 若过定点M(?1,0)且斜率为k的直线与圆x2?4x?y2?5?0在第一象限内的部分有交

点，则k的取值范围是 C．0?k?13

D．0?k?5

（ A ）

A．0?k?5 B．?5?k?0

y22.直线y?x?3与曲线???1的交点个数是 （ C ）

49A.1 B.2 C.3 D.4

3．椭圆mx2?ny2?1与直线y?1?x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜

xxm2，则的值是 （ A ）

n22239223A. B. C. D.

232274.已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线y2?4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2?4x的交点到原点的距离是 （ B ）

率为

A．23+6

B．21

C．18?122

D．21

二、填空题.

x2y2??1恒有公共点，则m的取值范围是 . 5．直线y:kx+1与椭圆5m答： m≥1且m≠5

x2y2??1中以点M（-1，2）为中点的弦所在直线的方程是 . 6.椭圆

169答： 9x?32y?73?0 三、解答题.

x227.设双曲线C：2?y?1(a?0)与直线l:x?y?1相交于两个不同的点A、B.

a（1）求双曲线C的离心率e的取值范围： （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA?5PB.求a的值. 12解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

?x22?2?y?1, ?a?x?y?1.?有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①

2??1?a?0.所以?422??4a?8a(1?a)?0.解得0?a?2且a?1.

双曲线的离心率

1?a2e??a?e?1?1.2a?0?a?2且a?1,

6且e?226,2)?(2,??).2即离心率e的取值范围为(（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),P1(0,1)

?PA?5PB,12?(x1,y1?1)?5(x2,y2?1).12由此得x1?5x2. 12由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

172a2所以x2??,2121?a17由a?0,所以a?.13522a22a2289x2??.消去,x,得??21260 1?a21?a28.设A?x1，y1?，B?x2，y2?两点在抛物线y?2x上，l是AB的垂直平分线.

2（Ⅰ）当且仅当x1?x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。

解：（Ⅰ）F?l?FA?FB?A、B两点到抛物线的准线的距离相等，

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1?0，y2?0，依题意y1，y2不同时为0

∴上述条件等价于y1?y2?x1?x2??x1?x2??x1?x2??0

22∵x1?x2

∴上述条件等价于x1?x2?0

即当且仅当x1?x2?0时，l经过抛物线的焦点F.

（Ⅱ）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y?2x?b；过点A、B的直线方程可

11x?m，所以x1、x2满足方程2x2?x?m?0 221 得x1?x2??

41 A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式???8m4写为y??设AB的中点N的坐标为?x0，y0?，则

0，即m?1 321111?x1?x2???，y0??x0?m??m 28216115519?m???b，于是b??m??由N?l，得 16416163232x0?即得l在y轴上截距的取值范围为??9?，??? ?32?

9.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB (?,??R)，证明???为定值。

22x2y2解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),F(c,0)

abx2y2则直线AB的方程为y?x?c，代入2?2?1，化简得

ab22222222(a?b)x?2acx?ac?ab?0.

a2ca2c2?a2b2 令A（x1,y1），B(x2,y2），则x1?x2?2,x1x2?.a2?b2a2?b2由OA?OB?(x1?x2,y1?y2),a?(3,?1),OA?OB与a共线，得

3(y1?y2)?(x1?x2)?0,又y1?x1?c,y2?x2?c，

3?3(x1?x2?2c)?(x1?x2)?0,?x1?x2?c.

22a2c3c即2，所以a2?3b2.?22a?b故离心率e??c?a2?b2?6a，

3c6?. a322x2y2222（II）证明：（1）知a?3b，所以椭圆2?2?1可化为x?3y?3b.

ab设OM?(x,y)，由已知得(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2),

?x??x1??x2, ?M(x,y)在椭圆上，?(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2. ???y??x1??x2.222即?2(x1?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b2.①

3c232212,a?c,b?c. 由（1）知x1?x2?222a2c2?a2b232x1x2??c8a2?b2x1x2?3y1y2?x1x2?3(x1?c)(x2?c)?4x1x2?3(x1?x2)c?3c2 3292c?c?3c222?0.?2222222又x21?3y1?3b,x2?3y2?3b，代入①得????1. 故?2??2为定值，定值为1.

10.已知双曲线C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率e?2，一条准线的方程为2x?1?0. （Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l过点A(0,1)且斜率为k（k?0），问：在双曲线C的右支上是否存在唯．一点B，它到直线l的距离等于1。若存在，则求出符合条件的所有k的值及相应点B的坐标；．

若不存在，请说明理由.

x2y2解：（Ⅰ）依题意，可设双曲线C的方程为2?2?1（a?0，b?0），则

ab??c2?a2?b2??c?a?b?1，即双曲线C的方程为x2?y2?1y； ??2l?a2?a1??2?c（Ⅱ）依题意，直线l的方程为y?kx?1（k?0），

设B(x0,y0)为双曲线C上到直线l的距离等于1的点，则

k2?1 ⑴若0?k?1，则直线l与双曲线C右支相交，故双 曲线C的右支上有两个点到直线l的距离等于1，与题意 矛盾； ⑵若k?1（如图所示），则直线l在双曲线C的右支的上方，故y0?kx0?1，

|kx?y0?1|kx0?y0?122??1?y0?kx0?1?k2?1。又因为x0?y0?1， 从而有022k?1k?1d?|kx0?y0?1|?1。

Ox2所以有x0?(kx0?1?k2?1)2?1，

2整理，得(k2?1)x0?2k(1?k2?1)x0?k2?2k2?1?3?0。……（★）

①若k?1，则由（★）得x0?4?222(2?1)②若k?1，则方程（★）必有相等的两个实数根，故由

55（k??不合题意，舍去），此时有 22?2，y0?kx0?1?k2?1?1，即B(2,1)；

??4k2(1?k2?1)2?4(k2?1)(k2?2k2?1?3)?4(3?2k2?1)?0，

解之得k?

k(k2?1?1)x0??5，y0?kx0?1?k2?1?2，即B(5,2)。 2k?15综上所述，符合条件的k的值有两个：k?1，此时B(2,1)；k?，此时B(5,2)。

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