第二章 回归模型思考与练习参考答案
2.1参考答案
⑴答：解释变量为确定型变量、互不相关（无多重共线性）；随机误差项零的值、同方差、非自相关；解释变量与随机误差项不相关。 现实经济中，这些假定难以成立。要解决这些问题就得对古典回归理论做进一步发展，这就产生了现代回归理论。
⑵答：总体方差是总体回归模型中随机误差项?i的方差；参数估计误差则属于样本回归模型中的概念，通常是指参数估计的均方误。参数估计的均方误为
??b?b=Eb MSEbiiii????=D?b??=????????
22?1iuii即根据参数估计的无偏线，参数估计的均方误与其方差相等。而参数估计的方差又源于总体方差。因此，参数估计误差是总体方差的表现，总体方差是参数估计误差的根源。
⑶答：总体回归模型 yi?E?yxi???i
?i?ei 样本回归模型yi?y?i是因变量y的个别值yi与因变量y对xi的总体回归函数值E?yxi?的
?i的偏差。 偏差；ei为因变量y的观测值yi与因变量y的样本回归函数值y在概念上类似于?i，是对?i的估计。 ei
对于既定理论模型，OLS法能使模型估计的拟和误差达最小。但或许我们可选择更理想的理论模型，从而进一步提高模型对数据的拟和程度。 ⑷答：R2检验说明模型对样本数据的拟和程度；F检验说明模型对总体经济关系的近似程度。
ModelkModelkR2n?k?1 F????Error?m?k?1??Total?Model??n?k?1?1?R2k由
?F?0可知，F是R2的单调增函数。对每一个临界值F?，都可以找到一个R?22?R2与之对应，当R2?R?时便有F?F?。
⑸答：在古典回归模型假定成立的条件下，OLS估计是所有的线形无偏估计量中的有效估计量。 ⑹答：如果模型通过了F检验，则表明模型中所有解释变量对被解释变量的影响显著。但这并不说明多个解释变量的影响都是显著的。建模开始时，常根据先验知识尽可能找出影响被解释变量的所有因素，这样就可能会选择不重要的因素作为解释变量。对单个解释变量的显著性检验可以剔除这些不重要的影响因素。 ⑺答：考虑两个经济变量y与x，及一组观测值??xi,yi?,i?1,2,?,n}。
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若假定这两个变量都是随机的，要确定相关关系的存在性及相关程度，则相应的统计分析就是相关分析。
若假定两变量一为随机变量一为确定变量，则相应的统计分析就是回归分析。回归分析以随机变量为因变量而确定型变量为自变量，研究自变量对因变量的影响，对因变量值进行预测。
相关分析是回归分析的基础，进行回归分析之前，通常要检验自变量与因变量间、自变量与自变量间是否存在相关关系。
2.2参考答案
答：考虑一元线形回归模型
yi?a?bxi??i, I=1,2,??,n
根据古典回归模型的假定，我们有：E(?i)?0；
E(?I,?J)?0， i?j； D(?i)??2。 从而
①E(yi)?a?bxi?E(?i)?a?bxi ②D(yi)?D(a?bxi??i)?D(?i)??2
③Cov(yi,yj)?E[(yi?Eyi)(yj?Eyj)]?E(?i,?j)?0
2.3参考答案
?的微分极值条件为x?e?0。??e，答：对于样本回归模型y?xB使用OLS法求解B展开X矩阵，有
x?e?[1,x1,?,xk]?e?0 ?1??1?e???①?i??????1???e1??e??2??1?e?0 ??????en??1??y?y?2??iei???②?y??????n??y??e1??e??2??y?)?e?B??x?e?B??(x?e)?0 ??e?(xB??????en?2.4 参考答案
答：注意区分模型与函数、总体与样本。
模型是满足某些假设条件的方程；样本是来自总体的随机抽样。
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总体回归模型：yi?E(yxi)??i?a?bxi??i 总体回归函数：E(yxi)?a?bxi
?x?e ?i?ei?a??b样本回归模型：yi?yii?x ?i?a??b样本回归函数：yi因此，⑵⑷⑺正确。
2.5 参考答案
证：设有一元样本回归模型形式如下：
?1?b?x?e ??e?by?y0111令M0?In?11?，则M0为离差幂等阵，并且有M01?0和M0e?e。
n?1?b?x)?M0(b?x)，从而 ??M0(b由M0y01111回归模型的判定系数为
?)?M0(xb?)?M0x1??M0y?(x1by2x111? R???(b1)000y?Myy?Myy?My2y与x的相关系数为
???????e)?x1M0yx1M0(yx1M0yx1M0x1b1ryx1????1111????[x1M0x1y?M0y]2[x1M0x1y?M0y]2[x1M0x1y?M0y]2[x1M0x1y?M0y]2?0x?)21Mx1 进而 (ryx1)2?(b1y?M0y因此 (ryx1)2?R2 证毕。
注意：证明过程中隐含了OLS法求解的微分极值条件
?x?e??1x1?e?0。 于是，有
1?1? M0e??In?11??e?e?1(1?e)?e?0?e
n?n???e?0 x1M0e?x1
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