第1课时 二次根式的概念

1．了解二次根式的概念；(重点)

2．理解二次根式有意义的条件；(重点)

3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)

一、情境导入

1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？

2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？

大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！ 二、合作探究

探究点一：二次根式的概念 【类型一】 二次根式的识别

(2015·安顺期末)下列各式：①

其中二次根式的个数有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.

方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“

”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．

132＋y2；④－5；⑤ ；②2x；③x5，2

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】 二次根式有意义的条件

代数式

x＋1

有意义，则x的取值范围是( ) x－1

A．x≥－1且x≠1 B．x≠1 C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1

解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.

方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非

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负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二：利用二次根式的非负性求值

【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知a，b满足2a＋8＋|b－1|＝0，求2a－b的值； (2)已知实数a，b满足a＝b－2＋2－b＋3，求a，b的值． 解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．

??2a＋8＝0，

解：(1)由题意知?得2a＝－8，b＝1，则2a－b＝－9；

?b－1＝0，???b－2≥0，

(2)由题意知?解得b＝2.所以a＝0＋0＋3＝3.

?2－b≥0，?

方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a和

－a时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a＝0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当x＝________时，3x＋2＋3的值最小，最小值为________． 解析：由二次根式的非负性知3x＋2≥0，∴当

2

3x＋2＝0即x＝－3时，3x＋2＋3

2

的值最小，此时最小值为3.故答案为－3，3.

方法总结：对于二次根式a≥0(a≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计

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本节课的内容是在我们已学过的平

方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件

第2课时 二次根式的性质

1．理解和掌握(a)2＝a(a≥0)和a2＝|a|；(重点)

2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)

一、情境导入

如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是3，则面积是多少？ 如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是a，则面积是多少？你会计算吗？

二、合作探究

探究点一：利用二次根式的性质进行计算

【类型一】 利用(a)2＝a(a≥0)计算 计算： (1)(0.3)2; (2)(－13)2； (3)(23)2; (4)(2x－y)2.

解析：(1)可直接运用(a)2＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2＝a2b2，再利用(a)2＝a(a≥0)进行计算．

解：(1)(0.3)2＝0.3；

(2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13； (3)(23)2＝22×(3)2＝12；

(4)(2x－y)2＝22×(x－y)2＝4(x－y)＝4x－4y.

方法总结：形如(nm)2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为n2·(m)2(m≥0)后再化简．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用a2＝|a|计算 计算： (1)22； (2)

2（－3）2； (3)－（－π）2.

解析：利用a2＝|a|进行计算． 解：(1)22＝2； (2)222（－3）2＝|－3|＝3；

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