《晶体结构与缺陷》 第一章习题及答案
1-1. 布拉维点阵的基本特点是什么？
答：具有周期性和对称性，而且每个结点都是等同点。
1-2. 论证为什么有且仅有14种Bravais点阵。
答：第一，不少于14种点阵。对于14种点阵中的任一种，不可能找到一种连接结点的方法，形成新的晶胞而对称性不变。
第二，不多于14种。如果每种晶系都包含简单、面心、体心、底心四种点阵，七种晶系共28种Bravais点阵。但这28种中有些可以连成14种点阵中的某一种而对称性不变。例如体心单斜可以连成底心单斜点阵，所以并不是新点阵类型。 1-3. 以BCC、FCC和六方点阵为例说明晶胞和原胞的异同。
答：晶胞和原胞都能反映点阵的周期性，即将晶胞和原胞无限堆积都可以得到完整的整个点阵。但晶胞要求反映点阵的对称性，在此前提下的最小体积单元就是晶胞；而原胞只要求体积最小，布拉维点阵的原胞都只含一个结点。例如：BCC晶胞中结点数为2，原胞为1；FCC晶胞中结点数为4，原胞为1；六方点阵晶胞中结点数为3，原胞为1。见下图，直线为晶胞，虚线为原胞。
BCC FCC 六方点阵
1-4. 什么是点阵常数？各种晶系各有几个点阵常数？
答：晶胞中相邻三条棱的长度a、b、c与这三条棱之间的夹角α、β、γ分别决定了晶胞的大小和形状，这六个参量就叫做点阵常数。
晶系 三斜 单斜 斜方 正方 立方 六方 菱方 a、b、c，α、β、γ之间的关系 a≠b≠c，α≠β≠γ≠90o a≠b≠c，α＝β＝γ＝90o a=b≠c，α=β=γ=90o a=b=c，α=β=γ=90o a=b≠c，α=β=90o,γ=120o a=b=c，α=β=γ≠90o 点阵常数的个数 6 (a、b、c 、α、β、γ) 3 (a、b、c) 2 (a、c) 1 (a) 2 (a、c) 2 (a、α) a≠b≠c，α=β=90≠γ或α=γ=90≠β 4 (a、b、c、γ或a、b、c、β) 1-5. 分别画出锌和金刚石的晶胞，并指出其点阵和结构的差别。
答：点阵和结构不一定相同，因为点阵中的结点可以代表多个原子，而结构中的点只能代表一个原子。锌的点阵是六方点阵，但在非结点位置也存在原子，属于HCP结构；金刚石的点阵是FCC点阵，但在四个四面体间隙中也存在碳原子，属于金刚石结构。见下图。
锌的结构 金刚石的结构
1-6. 写出立方晶系的{123}晶面族和<112>晶向族中的全部等价晶面和晶向的具体指数。
答：{123} = (123) +(23) +(13)+ (12) +(132) +(32) +(12) +(13)
+(213) +(13) +(23) +(21) +(231) +(31) +(21) +(23) +(312) +(12) +(32) +(31) +(321) +(21) +(31) +(32)
<112> = [112] +[12] +[12] +[11] +[121] +[21]
+[11] +[12] +[211] +[11] +[21] +[21] 1-7. 在立方晶系的晶胞图中画出以下晶面和晶向：(102)、(11)、(1)、[110]、[11]、
[10]和[21]。
1-8. 标注图中所示立方晶胞中的各晶面及晶向指数。
1-9. 写出六方晶系的{110}、{102}晶面族和<2
0>、<011>晶向族中的各等价晶面及等
价晶向的具体指数。
答：{110} = (110) +(20) + (20)
{102} = (102) +(012) +(102) +(012) +(012) +(102) <20> = [20] +[110] +[20]
<011> = [011] +[011] +[101] +[101] +[011] +[101]
1-10. 在六方晶胞图中画出以下晶面和晶向：(0001)、（010）、（110）、（102）、（012）、
[0001]、[010]、[110]、[011]和[011]。
1-11. 标注图中所示的六方晶胞中的各晶面及晶向指数。
1-12. 用解析法求1-11第二图中的各晶向指数(按三指数－四指数变换公式)。
解：由三指数[U V W]转化为四指数[u v t w]可利用公式： U = 2u +v , V= 2v + u , W = w
将?[23]、?[110]、?[113]、?[010]中的u、v、w代入公式，得 [1]、 [110]、 [111]、 ? [120 ]。
1-13. 根据FCC和HCP晶体的堆垛特点论证这两种晶体中的八面体和四面体间隙的尺寸
必相同。
答：研究FCC晶体的(111)密排面和HCP晶体的(0001)密排面，发现两者原子排列方式完全相同；再研究两者的相邻两层密排面，发现它们层与层之间的吻合方式也没有差别。事实上只有研究相邻的三层面时，才会发现FCC和HCP的区别，而八面体间隙与四面体间隙都只跟两层密排原子有关，所以对于这两种间隙，FCC与HCP提供的微观环
境完全相同，他们的尺寸也必相同。
1-14. 以六方晶体的三轴a、b、c为基，确定其八面体和四面体间隙中心的坐标。
答：八面体间隙有六个，坐标分别为： (?,-?,?)、(?,?,?)、(-?,-?,?)、(?,-?,?)、(?,?,?)、(-?,-?,?)；
四面体间隙共有二十个，在中轴上的为：(0,0, ?)、(0,0, ?)； 在六条棱上的为：(1,0, ?)、(1,1, ?)、(0,1, ?)、(-1,0, ?)、(-1,-1, ?)、(0,-1, ?)、
(1,0, ?)、(1,1, ?)、(0,1, ?)、(-1,0, ?)、(-1,-1, ?)、(0,-1, ?)；
在中部的为：(?,?,?)、(-?,?,?)、(-?,-?,?)、(?,?,?)、(-?,?,?)、(-?,-?,?)。
1-15. 按解析几何证明立方晶系的[h k l]方向垂直与(h k l)面。
证明：根据定义，(h k l)面与三轴分别交于a/h、a/k、a/l，可以推出此面方程为
x/(a/h) + y/(a/k) + z/(a/l) = 1 => hx + ky +lz = a；
平行移动得面 hx + ky +lz = 0；
又因为 (h, k, l) ? (x, y, z) = hx + ky + lz ≡ 0，知矢量(h, k, l)恒
垂直于此面，即[h k l]方向垂直于hx + ky +lz = 0面，所以垂直于hx + ky +lz = a即(h k l)面。 1-16. 由六方晶系的三指数晶带方程导出四指数晶带方程。
解：六方晶系三指数晶带方程为 HU + KV + LW = 0 ；
面(H K L)化为四指数(h k i l)，有 H = h , K = k , L = l ；
方向[U V W]化为四指数[u v t w]后，有 U = 2u +v , V= 2v + u , W = w ； 代入晶带方程，得
h(2u +v) + k(2v + u) + lw = 0 ；
将i =–(h+k)，t =–(u+v)代入上式，得 hu + kv + it + lw = 0。
1-21.求出立方晶体中指数不大于3的低指数晶面的晶面距d和低指数晶向长度L(以晶胞边
长a为单位)。
222222
解：晶面间距为d = a/sqrt (h+k+l)，晶向长度为L = a·sqrt (u+v+w)，可得
晶面族 {100} {110} {111} {200} {210} {211} {220} {221} {300} d(×a) 1 √2/2 √3/3 1/2 √5/5 √6/6 √2/4 1/3 1/3 晶面族 {311} {222} {320} {321} {322} {330} {331} {332} {333} d(×a) √11/11 √3/6 √13/13 √14/14 √17/17 √2/6 √19/19 √22/22 √3/9 晶向族 <100> <110> <111> <200> <210> <211> <220> <221> <300> L(×a) 1 √2 √3 2 √5 √6 2√2 3 3 晶向族 <311> <222> <320> <321> <322> <330> <331> <332> <333> L(×a) √11 2√3 √13 √14 √17 3√2 √19 √22 3√3