2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练

专题06 几何综合探究变化型问题

【真题再现】

1．（2019年宿迁中考第28题）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）． （1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；

（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

2．（2019年连云港中考第27题）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、

N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；

（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着

AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最

小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点

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F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG出FH的长．

，请直接写

3．（2019年无锡中考副卷第28题）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD． （1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由； （2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；

（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．

4．（2019年盐城中考第25题）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④． 【探究】

（1）证明：△OBC≌△OED；

（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．

5．（2019?扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、

B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

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（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 ； （2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为 ；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

6．（2019年南京中考第26题）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． 小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G． 2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形． （1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

【专项突破】 【题组一】

1．（2020?海门市校级模拟）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC． （1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；

（2）若点P在线段AB上，如图2，当点P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）在（1）的条件下，将正方形ABCD固定，正方形BPEF绕点B旋转一周，设AB＝4，BP＝a，若在旋转过程中△ACE面积的最小值为4，请直接写出a的值．

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2．（2019秋?青龙县期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边

AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形

展开如下研究： 问题初探：

（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为 ； 问题再探：

（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：

①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用

（3）若边长AB＝4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝

DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是 ．

3．（2019秋?张家港市期末）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．

（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °． （2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．

（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．

4．（2020?兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM． （1）求证：PM＝PN；

（2）当P，A重合时，求MN的值；

（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．

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【题组二】

5．（2019秋?娄星区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、

C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．

（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是 三角形； （2）若∠BAC＜60°．

①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；

②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．

6．（2019秋?东海县期末）已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD． （1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．

（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′． ①依题意补全图2；

②请直接写出线段AC′的长度．

7．（2019秋?江都区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，AB＝25，点D为斜边

AB上动点．

（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；

（2）如图2，当AD＝AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；

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