（2）如图②，连接AM、AN，
∵∠BAC＝135°， ∴∠B+∠C＝45°，
∵点M在AB的垂直平分线上， ∴AM＝BM， ∴∠BAM＝∠B，
同理AN＝CN，∠CAN＝∠C， ∴∠BAM+∠CAN＝45°，
∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°， ∴AM2+AN2＝MN2， ∴BM2+CN2＝MN2；
（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC， ∴PH＝PE，
∵点P在AC的垂直平分线上， ∴AP＝CP，
在Rt△APH和Rt△CPE中，
，
∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL）， ∴AH＝CE，
在△BPH和△BPE中，
，
∴△BPH≌△BPE（AAS） ∴BH＝BE，
∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH， ∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．
11．（2019秋?溧水区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
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【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ DE ，BC＝ AE ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）①作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，证明△ABF≌△DAM，根据全等三角形的性质得到EN＝DM，再证明△DMG≌△ENG，根据全等三角形的性质证明结论；
②过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，仿照①的证明过程解答． 【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°， ∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SAS） ∴AC＝DE，BC＝AE， 故答案为：DE；AE；
（2）①如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
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∵BC⊥AF，
∴∠BFA＝∠AMD＝90°， ∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°， ∴∠B＝∠2，
在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，
，
∴△ABF≌△DAM（AAS）， ∴AF＝DM， 同理，AF＝EN， ∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF， ∴∠GMD＝∠GNE＝90°， 在△DMG与△ENG中，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，即点G是DE的中点；
②如图3，△ABC和△AB′C是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D， 则四边形OCDE为矩形， ∴DE＝OC，OE＝CD， 由①可知，△ADB≌△BCO， ∴AD＝BC，BD＝OC，
∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2， ∴BC+BC+2＝4， 解得，BC＝1，OC＝3， ∴点B的坐标为（3，1）， 同理，点B′的坐标为（﹣1，3），
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（3，1）或（﹣1，
48
3）．
12．（2019?邗江区校级一模）阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.4，AC＝3.6，求BC得长． 小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）． 请完成：（1）求证：△BDE是等腰三角形 （2）求BC的长为多少？
（3）参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
BD平分∠ABC，BD，BC，求AD的长．
【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠
DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰
三角形；
（2）根据（1）中得：AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.4，相加可得BC的长；
（3）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论． 【解答】解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE． 在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴AD＝DE，∠A＝∠DEC， ∵∠A＝2∠B， ∴∠DEC＝2∠B， ∴∠B＝∠EDB， ∴△BDE是等腰三角形；
（2）由（1）知：AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.4， ∴BC＝BE+CE＝2.4+3.6＝6；
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（3）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°， ∴∠ABC＝∠C＝80°， ∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°， 在BA边上取点E，使BE＝BC＝3在△DEB和△DBC中， ∵
，
，连接DE，
∴△DEB≌△DBC（SAS）， ∴∠BED＝∠C＝80°， ∴∠4＝60°， ∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE， 同理得△BDE≌△FDE（SAS）， ∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝3∵∠A＝20°， ∴∠6＝20°， ∴AF＝EF＝3∵BD＝DF＝4 【题组四】
13．（2019?鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？
探究思考：几位同学画出了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三角形． （1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：
①图一中AD的长度 ＞ 图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”） ②等边三角形ADE经过图形变化．AD可以更小．请描述图形变化的过程．
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，
， ，
．
∴AD＝BD+BC＝7