【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以
AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β
＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是 等边 三角形；∠ADB的度数为 30° ． 【问题解决】
在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；
【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若
BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为 7ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；
或7 ．
【分析】【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题． 【问题解决】当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，
AD′，证明方法类似（1）．
【拓展应用】第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；
第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，
AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°， 在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B， ∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°， ∵BD＝BD′，BD＝BC， ∴BD′＝BC，
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∴△D′BC是等边三角形，
②∵△D′BC是等边三角形， ∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°， 在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C， ∴∠AD′B∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°． 故答案为：等边，30°；
【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC， ∴60°＜α≤120°，
如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BAC＝α， ∴∠ABC
（180°﹣α）＝90°α， α﹣β，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°同（1）①可证△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD＝∠ABD′＝90°
α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B
α﹣β+90°
α＝180°﹣（α+β），
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°∵α+β＝120°， ∴∠D′BC＝60°，
由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C， ∴∠AD′B∠BD′C＝30°，
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∴∠ADB＝30°．
【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，
由（2）知，∠ADB＝30°， 作AE⊥BD，
在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2， ∴DE，
∵△BCD'是等边三角形， ∴BD'＝BC＝7， ∴BD＝BD'＝7， ∴BE＝BD﹣DE＝7
第②情况：当0°＜α＜60°时，
如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．
；
同理可得：∠ABC（180°﹣α）＝90°
α，
∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°同（1）①可证△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°． 同（1）②可证△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°， ∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，
α），
α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B， α﹣[β﹣（90°
α）]＝180°﹣（α+β），
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在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2， ∴DE，
， ．
或7
∴BE＝BD+DE＝7故答案为：7
16．（2019?亭湖区二模）【阅读材料】
小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，
PC＝4，求PB的长．
小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得
PB的长．
（1）请回答：在图1中，∠PDB＝ 90 °，PB＝ 5 ． 【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB，
PC＝2，求AB的长．
【灵活运用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα且PB＝3，PC＝1，直接写出PA长的最大值．
，点P在△ABC外，
【分析】（1）由△ACP≌△ABD，得∠ADB＝∠APC＝150°，PC＝BD＝4，AD＝AP＝3，因为△ADP为等边三角形，所以∠ADP＝60°，DP＝AD＝3，可得∠BDP＝90°，在Rt△
BDP中，用勾股定理可求得PB的长；
（2）如图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．首先证明∠PDB＝90°，再证明A，P，D共线，利用勾股定理即可解决问题． （3）如图3中，作CD⊥CP，使得CD三角形的性质求出AD，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，
PC，则PD，利用相似
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∵△ACP≌△ABD，
∴∠PDB＝∠APC＝150°，PC＝BD＝4，AD＝AP＝3， ∵△ADP为等边三角形， ∴∠ADP＝60°，DP＝AD＝3， ∴∠BDP＝150°﹣60°＝90°， ∴PB
（2）如图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．
5．
故答案为：90°，5；
由旋转性质可知；BD＝PA＝1，CD＝CP＝2∴△PCD是等腰直角三角形， ∴PD，∠PCD＝90°，
PC24，∠CDP＝45°，
）2＝17，
∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（∴PD2+BD2＝PB2， ∴∠PDB＝90°， ∴∠BDC＝135°，
∴∠APC＝∠CDB＝135°，∵∠CPD＝45°， ∴∠APC+∠CPD＝180°， ∴A，P，D共线， ∴AD＝AP+PD＝5， 在RtADB中，AB
（3）如图3中，作CD⊥CP，使得CD．
PC，则PD，
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