2020年中考数学压轴题突破专题6 几何综合探究变化型问题 下载本文

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究,当α=90°,β=30°时,利用轴对称知识,以

AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′,连接CD′(如图2),然后利用α=90°,β

=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路,在这种特殊情况下填空:△D′BC的形状是 等边 三角形;∠ADB的度数为 30° . 【问题解决】

在原问题中,当∠DBC<∠ABC(如图1)时,请计算∠ADB的度数;

【拓展应用】在原问题中,过点A作直线AE⊥BD,交直线BD于E,其他条件不变若

BC=7,AD=2.请直接写出线段BE的长为 7ABD≌△ABD′,推出△D′BC是等边三角形;

或7 .

【分析】【特例探究】①如图2中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,连接CD′,AD′,由△②借助①的结论,再判断出△AD′B≌△AD′C,得∠AD′B=∠AD′C,由此即可解决问题. 【问题解决】当60°<α≤120°时,如图3中,作∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,连接CD′,

AD′,证明方法类似(1).

【拓展应用】第①种情况:当60°<α≤120°时,如图3中,作∠AB D′=∠ABD,B D′=BD,连接CD′,AD′,证明方法类似(1),最后利用含30度角的直角三角形求出DE,即可得出结论;

第②种情况:当0°<α<60°时,如图4中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,连接CD′,

AD′.证明方法类似(1),最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.

【解答】解:【特例探究】①如图2中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,连接CD′,AD′,

∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ABC=45°, ∵∠DBC=30°,

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°, 在△ABD和△ABD′中,∴△ABD≌△ABD′,

∴∠ABD=∠ABD′=15°,∠ADB=∠AD′B, ∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°, ∵BD=BD′,BD=BC, ∴BD′=BC,

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∴△D′BC是等边三角形,

②∵△D′BC是等边三角形, ∴D′B=D′C,∠BD′C=60°, 在△AD′B和△AD′C中,∴△AD′B≌△AD′C, ∴∠AD′B=∠AD′C, ∴∠AD′B∠BD′C=30°,

∴∠ADB=30°. 故答案为:等边,30°;

【问题解决】解:∵∠DBC<∠ABC, ∴60°<α≤120°,

如图3中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,连接CD′,AD′,

∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵∠BAC=α, ∴∠ABC

(180°﹣α)=90°α, α﹣β,

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°同(1)①可证△ABD≌△ABD′, ∴∠ABD=∠ABD′=90°

α﹣β,BD=BD′,∠ADB=∠AD′B

α﹣β+90°

α=180°﹣(α+β),

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°∵α+β=120°, ∴∠D′BC=60°,

由(1)②可知,△AD′B≌△AD′C, ∴∠AD′B=∠AD′C, ∴∠AD′B∠BD′C=30°,

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∴∠ADB=30°.

【拓展应用】第①情况:当60°<α<120°时,如图3﹣1,

由(2)知,∠ADB=30°, 作AE⊥BD,

在Rt△ADE中,∠ADB=30°,AD=2, ∴DE,

∵△BCD'是等边三角形, ∴BD'=BC=7, ∴BD=BD'=7, ∴BE=BD﹣DE=7

第②情况:当0°<α<60°时,

如图4中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,连接CD′,AD′.

同理可得:∠ABC(180°﹣α)=90°

α,

∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣(90°同(1)①可证△ABD≌△ABD′, ∴∠ABD=∠ABD′=β﹣(90°∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°∴D′B=D′C,∠BD′C=60°. 同(1)②可证△AD′B≌△AD′C, ∴∠AD′B=∠AD′C,

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°, ∴∠ADB=∠AD′B=150°,

α),

α),BD=BD′,∠ADB=∠AD′B, α﹣[β﹣(90°

α)]=180°﹣(α+β),

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在Rt△ADE中,∠ADE=30°,AD=2, ∴DE,

, .

或7

∴BE=BD+DE=7故答案为:7

16.(2019?亭湖区二模)【阅读材料】

小明遇到这样一个问题:如图1,点P在等边三角形ABC内,且∠APC=150°,PA=3,

PC=4,求PB的长.

小明发现,以AP为边作等边三角形APD,连接BD,得到△ABD;由等边三角形的性质,可证△ACP≌△ABD,得PC=BD;由已知∠APC=150°,可知∠PDB的大小,进而可求得

PB的长.

(1)请回答:在图1中,∠PDB= 90 °,PB= 5 . 【问题解决】

(2)参考小明思考问题的方法,解决下面问题:

如图2,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P在△ABC内,且PA=1,PB,

PC=2,求AB的长.

【灵活运用】

(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=α,且tanα且PB=3,PC=1,直接写出PA长的最大值.

,点P在△ABC外,

【分析】(1)由△ACP≌△ABD,得∠ADB=∠APC=150°,PC=BD=4,AD=AP=3,因为△ADP为等边三角形,所以∠ADP=60°,DP=AD=3,可得∠BDP=90°,在Rt△

BDP中,用勾股定理可求得PB的长;

(2)如图2中,把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD.首先证明∠PDB=90°,再证明A,P,D共线,利用勾股定理即可解决问题. (3)如图3中,作CD⊥CP,使得CD三角形的性质求出AD,即可解决问题. 【解答】解:(1)如图1中,

PC,则PD,利用相似

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∵△ACP≌△ABD,

∴∠PDB=∠APC=150°,PC=BD=4,AD=AP=3, ∵△ADP为等边三角形, ∴∠ADP=60°,DP=AD=3, ∴∠BDP=150°﹣60°=90°, ∴PB

(2)如图2中,把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD.

5.

故答案为:90°,5;

由旋转性质可知;BD=PA=1,CD=CP=2∴△PCD是等腰直角三角形, ∴PD,∠PCD=90°,

PC24,∠CDP=45°,

)2=17,

∵PD2+BD2=42+12=17,PB2=(∴PD2+BD2=PB2, ∴∠PDB=90°, ∴∠BDC=135°,

∴∠APC=∠CDB=135°,∵∠CPD=45°, ∴∠APC+∠CPD=180°, ∴A,P,D共线, ∴AD=AP+PD=5, 在RtADB中,AB

(3)如图3中,作CD⊥CP,使得CD.

PC,则PD,

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