（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出

AD的长度．

8．（2019秋?泰兴市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E是射线CB上的动点，连接DE，DF⊥DE交射线AC于点F．

（1）若点E在线段CB上． ①求证：AF＝CE．

②连接EF，试用等式表示AF、EB、EF这三条线段的数量关系，并说明理由． （2）当EB＝3时，求EF的长． 【题组三】

9．（2019秋?镇江期末）△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图1，点D、E分别在AB、AC上，则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案）

（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连结BD、CE，则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

（3）如图3，点D、E都在△ABC外部，连结BD、CE、CD、EB，BD与CE相交于H点．已知AB＝4，AD＝2，设CD2＝x，EB2＝y，求y与x之间的函数关系式．

10．（2019秋?射阳县期末）在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、

N．

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（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝ °，若△AMN的周长为9，则BC＝ ．

（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；

（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．

11．（2019秋?溧水区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】

（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】

（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；

②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．

12．（2019?邗江区校级一模）阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.4，AC＝3.6，求BC得长． 小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）． 请完成：（1）求证：△BDE是等腰三角形 （2）求BC的长为多少？

（3）参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，

BD平分∠ABC，BD，BC，求AD的长．

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【题组四】

13．（2019?鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？

探究思考：几位同学画出了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三角形． （1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：

①图一中AD的长度 图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”） ②等边三角形ADE经过图形变化．AD可以更小．请描述图形变化的过程． （2）有同学画出了图3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由． （3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长． 经验运用：

（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长最小是多少？画出示意图并写出这个最小值．

14．（2019?南京二模）【概念提出】如图 ①，若正△DEF的三个顶点分别在正△ABC的边

AB、BC、AC上，则我们称△DEF是正△ABC的内接正三角形．

（1）求证：△ADF≌△BED；

【问题解决】利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形（保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图 ②，正△ABC的边长为a，作正△ABC的内接正△DEF，使△DEF的边长最短，并说明理由；

（3）如图③，作正△ABC的内接正△DEF，使FD⊥AB．

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15．（2020?河南一模）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以

AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β

＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是 三角形；∠ADB的度数为 ． 【问题解决】

在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；

【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若

BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为 ．

16．（2019?亭湖区二模）【阅读材料】

小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，

PC＝4，求PB的长．

小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得

PB的长．

（1）请回答：在图1中，∠PDB＝ °，PB＝ ． 【问题解决】

（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：

如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB，

PC＝2，求AB的长．

【灵活运用】

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα且PB＝3，PC＝1，直接写出PA长的最大值．

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，点P在△ABC外，

【题组五】

交点I，就指出若连接CI，则CI平分∠ACB，你觉得有道理吗？为什么？

17．（2019秋?海安市期末）（1）如图①，小明同学作出△ABC两条角平分线AD，BE得到（2）如图②，Rt△ABC中，AC＝5，AC＝12，AB＝13，△ABC的角平分线CD上有一点I，设点I到边AB的距离为d．（d为正实数） 小季、小何同学经过探究，有以下发现： 小季发现：d的最大值为

．

小何发现：当d＝2时，连接AI，则AI平分∠BAC． 请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由．

18．（2019秋?常熟市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC；

（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．

19．（2019秋?常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点C（0，6），点B在x轴负半轴上，且AB＝AC．

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