设直线PB′交AC于E, ∴PE=PA?sin60°∴B′E=6
,
8×(6,
在Rt△APE中,∵PA=2,∠PAE=60°,
∴S△ACB′的最大值)=424.
解法二:如图5中,过点P作PH垂直于AC,
由题意可得:B’在以P为圆心半径长为6的圆上运动, 当PH的延长线交圆P于点B′时面积最大, 此时BH=6
,S△ACB′的最大值
8×(6
)=4
24.
点评:本题属于几何变换综合题,考查了等边三角形的性质和判定,轴对称变换,解直角三角形,平行线的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.
6.(2019年南京中考第26题)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使点D在边AC上,点E、F在边AB上,点G在边BC上. 小明的作法
1.如图②,在边AC上取一点D,过点D作DG∥AB交BC于点G. 2.以点D为圆心,DG长为半径画弧,交AB于点E.
3.在EB上截取EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为所求作的菱形. (1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形.
(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继
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续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.
【分析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可. (2)求出几种特殊位置的CD的值判断即可. 【解答】(1)证明:∵DE=DG,EF=DE, ∴DG=EF, ∵DG∥EF,
∴四边形DEFG是平行四边形, ∵DG=DE,
∴四边形DEFG是菱形.
(2)如图1中,当四边形DEFG是正方形时,设正方形的边长为x.
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB则CD5,
x,ADx,
∵AD+CD=AC, ∴∴x∴CDx=3,
,
x,
时,菱形的个数为0.
观察图象可知:0≤CD如图2中,当四边形DAEG是菱形时,设菱形的边长为m.
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∵DG∥AB, ∴∴解得m∴CD=3
, , ,
,
如图3中,当四边形DEBG是菱形时,设菱形的边长为n.
∵DG∥AB, ∴∴∴n,
,
, 或
, ,
∴CG=4∴CD观察图象可知:当0≤CD时,菱形的个数为1,当
CD≤3时,菱形的个数为0,当CD时,菱形的个数为2.
或CDCD点评:本题考查相似三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,作图﹣复杂作图等知识,解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题,属于中考常考题型,题目有一定难度. 【专项突破】
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【题组一】
1.(2020?海门市校级模拟)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA、EC. (1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;
(2)若点P在线段AB上,如图2,当点P为AB的中点时,判断△ACE的形状,并说明理由;
(3)在(1)的条件下,将正方形ABCD固定,正方形BPEF绕点B旋转一周,设AB=4,BP=a,若在旋转过程中△ACE面积的最小值为4,请直接写出a的值.
【分析】(1)根据正方形的性质证明△APE≌△CFE,可得结论;
(2)分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°,则∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形; (3)如图3中,连接BD交AC于O.因为点E的运动轨迹是以B为圆心,题多解).
【解答】证明:(1)如图1中,
a为半径
的圆,推出当点E在线段OB上时,△ACE的面积最小,构建方程即可解决问题(注意一
∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形, ∴AB=BC,BP=BF, ∴AP=CF,
在△APE和△CFE中, ∵
,
∴△APE≌△CFE, ∴EA=EC;
(2)△ACE是直角三角形, 理由是:如图2中,
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∵P为AB的中点, ∴PA=PB, ∵PB=PE, ∴PA=PE, ∴∠PAE=45°, 又∵∠BAC=45°,
∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形; (3)如图3中,连接BD交AC于O.
∵点E的运动轨迹是以B为圆心,
a为半径的圆,
∴当点E在线段OB上时,△ACE的面积最小, ∵∴OE∵BE=2∴a=1,
∴满足条件的a的值为1. 【题组二】
2.(2019秋?青龙县期末)在等边三角形ABC中,点D是BC的中点,点E、F分别是边
AC×OE=4,
,
AB、AC(含线段AB、AC的端点)上的动点,且∠EDF=120°,小明和小慧对这个图形
展开如下研究: 问题初探:
(1)如图1,小明发现:当∠DEB=90°时,BE+CF=nAB,则n的值为 问题再探:
(2)如图2,在点E、F的运动过程中,小慧发现两个有趣的结论:
①DE始终等于DF;②BE与CF的和始终不变;请你选择其中一个结论加以证明. 成果运用
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