（2）解：点P与点A重合时，如图2中，

设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x， 在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CN＝8﹣3＝5，AC∴CQ∴QN∴MN＝2QN＝2

（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S．

4

，

AC＝2，

，

S菱形CMPN4×4＝4，

5×4

当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝5， ∴4≤S≤5， 【题组二】

5．（2019秋?娄星区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、

C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．

（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是 等边 三角形； （2）若∠BAC＜60°．

①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；

②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．

36

【分析】（1）根据题意推出∠ACB＝∠ABC＝60°，然后通过求证△EAC≌△DAB，结合平行线的性质，即可推出△EFC为等边三角形；

（2）①根据（1）的推理方法，即可推出△EFC为等腰三角形；②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAC≌△DAB，推出等量关系，即可推出△EFC为等腰三角形．

【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠EAC＝∠DAB， ∴△DAB≌△EAC， ∴∠ECA＝∠B＝60°， ∵EF∥BC，

∴∠EFC＝∠ACB＝60°，

∵在△EFC中，∠EFC＝∠ECF＝60°＝∠CEF， ∴△EFC为等边三角形， 故答案为：等边；

（2）①△CEF为等腰三角形，

证明：如图2，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠ACB＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB， ∴△EAC≌△DAB， ∴∠ECA＝∠B， ∴∠ACE＝∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB， ∴∠EFC＝∠ACE， ∴CE＝FE，

∴△EFC为等腰三角形；

②如图③，△EFC为等腰三角形．

当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE． 证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠ACB＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB，

37

∴△EAC≌△DAB， ∴∠ECA＝∠DBA， ∴∠ECF＝∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠AFE＝∠ACB， 又∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠AFE＝∠ECF， ∴EC＝EF，

∴△EFC为等腰三角形．

6．（2019秋?东海县期末）已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD． （1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．

（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′． ①依题意补全图2；

②请直接写出线段AC′的长度．

38

【分析】（1）先判断出PC＝AB，再用同角的余角相等判断出∠APB＝∠PDC，得出△ABP≌△PCD（AAS），即可得出结论； （2）①利用对称的性质画出图形；

②先求出CP＝4，AB＝AP，∠CPD＝45°，进而得出C'P＝CP＝4，∠C'PD＝∠CPD＝45°，再判断出四边形BQC'P是矩形，进而求出AQ＝BQ﹣AB＝3，最后用勾股定理即可得出结论．

【解答】（1）△ADP是等腰直角三角形． 证明：∵BC＝5，BP＝4， ∴PC＝1， ∵AB＝1， ∴PC＝AB．

∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP， ∴∠B＝∠C＝90°，

∠APB+∠DPC＝90°，∠PDC+∠DPC＝90°， ∴∠APB＝∠PDC， 在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（AAS） ∴AP＝PD， ∵∠APD＝90°，

∴△ADP是等腰直角三角形． （2）①依题意补全图2；

②∵BP＝1，AB＝1，BC＝5，

39

∴CP＝4，AB＝AP， ∵∠ABP＝90°， ∴∠APB＝45°， ∵∠APD＝90°， ∴∠CPD＝45°， 连接C'P，

∵点C与C'关于DP对称，

∴C'P＝CP＝4，∠C'PD＝∠CPD＝45°， ∴∠CPC'＝90°， ∴∠BPC'＝90°，

过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q， ∴∠Q＝90°＝∠ABP＝∠BPC'， ∴四边形BQC'P是矩形， ∴C'Q＝BP＝1，BQ＝C'P＝4， ∴AQ＝BQ﹣AB＝3， 在Rt△AC'Q中，AC′

7．（2019秋?江都区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，AB＝25，点D为斜边

AB上动点．

（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；

（2）如图2，当AD＝AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度； （3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出

AD的长度．

【分析】（1）求出BC＝20，由AB?CD＝BC?AC可求出答案；

＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可解决问题．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝15，AB＝25， ∴BC∵AB?CD＝BC?AC， ∴25CD＝20×15， ∴CD＝12；

（2）在Rt△ACE和Rt△ADE中，∠C＝∠EDA＝90°， ∵

，

20，

（2）根据HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，推出CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE40