∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）， ∴CE＝DE，

设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10 在Rt△BED中

∴x2+102＝（20﹣x）2， ∴x＝7.5， ∴CE＝7.5．

（3）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形 ∵AC＝15， ∴AD＝AC＝15．

②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形 ∵CD＝AD， ∴∠DCA＝∠CAD， ∵∠CAB+∠B＝90°， ∠DCA+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠BCD， ∴BD＝CD，

∴CD＝BD＝DA＝12.5，

③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形， 如图1中，作CH⊥BA于点H，

则?AB?CH?AC?BC，

∵AC＝15，BC＝20，AB＝25， ∴CH＝12， 在Rt△ACH中，AH∵CD＝AC，CH⊥BA， ∴DH＝HA＝9， ∴AD＝18．

综合以上可得AD的长度为15，18，或12.5．

8．（2019秋?泰兴市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E是射线CB上的动点，连接DE，DF⊥DE交射线AC于点F．

9，

41

（1）若点E在线段CB上． ①求证：AF＝CE．

②连接EF，试用等式表示AF、EB、EF这三条线段的数量关系，并说明理由． （2）当EB＝3时，求EF的长．

【分析】（1）①证明△ADF≌△CDE（ASA），即可得出AF＝CE；

②由①得△ADF≌△CDE（ASA），得出AF＝CE；同理△CDF≌△BDE（ASA），得出CF＝BE，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，即可得出结论；

（2）分两种情况：①点E在线段CB上时，求出CE＝BC﹣BE＝1，由（1）得AF＝CE＝1，AF2+EB2＝EF2，即可得出答案；

②点E在线段CB延长线上时，求出CE＝BC+BE＝7，同（1）得△ADF≌△CDE（ASA），得出AF＝CE，求出CF＝BE＝3，在Rt△EF中，由勾股定理即可得出答案． 【解答】（1）①证明：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点， ∴∠DCE＝45°＝∠A，CD∴∠ADC＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠FDE＝90°， ∴∠ADC＝∠FDE， ∴∠ADF＝∠CDE， 在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴AF＝CE；

②解：AF2+EB2＝EF2，理由如下： 由①得：△ADF≌△CDE（ASA）， ∴AF＝CE；

同理：△CDF≌△BDE（ASA）， ∴CF＝BE，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2， ∴AF2+EB2＝EF2；

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AB＝AD，CD⊥AB，

，

（2）解：分两种情况： ①点E在线段CB上时， ∵BE＝3，BC＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝1，

由（1）得：AF＝CE＝1，AF2+EB2＝EF2， ∴EF∵BE＝3，BC＝4， ∴CE＝BC+BE＝7，

同（1）得：△ADF≌△CDE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴CF＝BE＝3，

在Rt△EF中，由勾股定理得：CF2+CE2＝EF2， ∴EF；

或

．

综上所述，当EB＝3时，EF的长为

；

②点E在线段CB延长线上时，如图2所示：

【题组三】

9．（2019秋?镇江期末）△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图1，点D、E分别在AB、AC上，则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案）

（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连结BD、CE，则BD、CE满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

（3）如图3，点D、E都在△ABC外部，连结BD、CE、CD、EB，BD与CE相交于H点．已知AB＝4，AD＝2，设CD2＝x，EB2＝y，求y与x之间的函数关系式．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；

（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据三角形内角和定理得到∠CGF＝∠BAF＝90°，根据垂

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直的定义解答；

（3）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠BHC＝∠BAC＝90°，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE，BD⊥CE； （2）BD＝CE，BD⊥CE．

理由如下：延长BD，分别交AC、CE于F、G， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AFB＝∠GFC，

∴∠CGF＝∠BAF＝90°，即BD⊥CE； （3）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴BCAB＝4，DEAD＝2，

∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠CAE＝∠DAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AOB＝∠HOC， ∴∠BHC＝∠BAC＝90°， ∴CD2+EB2

＝CH2+HD2+HB2+EH2 ＝BC2+DE2 ＝（4

）2+（2

）2＝40

∴y＝40﹣x．

44

10．（2019秋?射阳县期末）在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、

N．

（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝ 40 °，若△AMN的周长为9，则BC＝ 9 ．

（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；

（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM＝BM，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到BAM＝∠B，∠NAC＝∠C，结合图形计算即可；

（2）连接AM、AN，仿照（1）的作法得到∠MAN＝90°，根据勾股定理证明结论； （3）连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝

CP，根据角平分线的性质得到PH＝PE，证明Rt△APH≌Rt△CPE得到AH＝CE，证明△BPH≌△BPE，得到BH＝BE，结合图形计算即可．

【解答】解：（1）∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°， ∵AB边的垂直平分线交BC边于点M， ∴AM＝BM， ∴∠BAM＝∠B， 同理：NA＝NC， ∴∠NAC＝∠C，

∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°， ∵△AMN的周长为9， ∴MA+MN+NA＝9，

∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9， 故答案为：40；9；

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