8. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
A 1 2 B E C F D
证明：连接BF和EF。
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。 ∴ ∠EBF=∠BEF。 又∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
9. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
A 1 2 F C D E B
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2
∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC
10. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A B D C
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C
11. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC 又∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE