何小亚：数学核心素养指标之反思

编者按

学科核心素养的提法从诞生之日起就引发了广泛而持久的讨论，见仁见智，饱受争议，至今远未平息。今天推送全国著名数学教育专家华南师范大学何小亚教授的近作，该文观点可谓振聋发聩，在天涯论坛等国内知名论坛上引发了热烈的讨论。其见解之新锐，思想之深邃，逻辑之严谨，视野之宽宏均令情怀君惊叹不已！您马上会体验和品味到一场别样的头脑风暴和精神盛宴！平凡的周末由此变得激动人心……

数学课程改革是一项比经济改革更复杂的系统工程，它关系着中国数学教育未来的成败，需要决策者、专业研究者和广大一线教师等各方人士通力合作，出谋划策，明辨是非，达成共识，不能成为少数人“拍脑袋”的产品，否则会祸害无穷。

摘要：对六条数学核心素养的内容进行反思，给出反思结论，提出三个反思问题和四个反思方向，最后给出修订的数学核心素养框架。

关键词：数学核心素养；反思；数学化；数学推理；数学思想

高中课程标准修订组，按照内涵、价值和表现的框架，给出的高中数学核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。[1]（以下简称“六核”）。下面，首先对“六核”的具体内容（斜体文字部分）逐条进行分析反思，然后提出三个反思问题，最后给出四个反思方向和数学核心素养框架。

1、对“六核”的逐条反思

1.1 数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。??

反思1：只舍去“物理属性”，不舍去“社会属性”“形式属性”？应该是“具体属性”. 反思2：“表征”应改为“表示”，如此更通俗易懂，也更准确。表征（representation）是教育心理学的术语，是认知者在脑中重新表示反映——再表示的意思。

反思3：数量与数量关系、图形与图形关系已经属于纯数学世界的内容，由两者抽象出数学概念及关系就是Freudenthal所说的垂直数学化，即数学世界内部由低级向高级的发展。“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”指的是从真实世界得出数学原理结构，是由真实世界到数学世界的水平数学化之一，但却少了另一种更基础的水平数学化：由真实世界抽象出数量、图形、概念等数学模式。例如：实际问题→茎叶图；力→向量；力的分解合成→向量的分解合成。

反思4：抽象是数学的特点之一，但不是数学所特有的。逻辑学、哲学、文学、艺术中的“抽象”俯拾皆是。浙江大学120周年校庆通告你读懂了多少？“庠序”“缉熙”“黾勉”不抽象吗？毕加索的画不抽象吗？

概括性才是数学更本质的特点。抽象是过程手段，是概括的基础，而概括才是最终的目的.理解数学概念、原理的本质不是理解抽象性，而是理解数学概念、原理的概括性或者说“通杀性”！

反思5：“数学抽象”是一种提炼抽取数学对象的手段，把它作为一种数学思想恰当吗？请问国际上有哪一本专著、论文把数学抽象作为数学思想之一？从定义所阐述的内容看，“数学抽象”实际上就是数学家、数学教育家Freudenthal早已提出的“数学化”的部分内容。

数学化（mathematization）是整理现实性的过程，它包括数学家的全部组织活动，比如公理化（axiomatization）、形式化（formalization）、图式化（schematization）、建模（modeling），以及数学内部由低级向高级的推动过程[2]p42-50.这里的“现实性（reality）”是指真实世界（real-world）和数学世界(math-word)的总和，不能望文生义地理解为真实世界、现实世界.

公理化（axiomatization）是指从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发，运用逻辑推理规则把一门学科建立成为演绎系统的过程.

形式化（formalization）是指“用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程.” 而关于图式化，Freudenthal在介绍完公理化、形式化后，是这样形容的：“人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式.最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候.” [2] P43.因此，可以认为，图式化就是形式内容的内化过程，其结果是一种心理意义，即心理结构.

建模（modeling）是数学化的一个方面，在Freudenthal的术语观中，模型是不可缺少的一种中介，建模就是用模型把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理[3] P47.

数学化被分成两种：一是水平数学化(horizontal mathematization)，即从生活世界中抽象概括出数学概念、数学原理等数学模式的过程，是从“生活世界”到“数学世界”的转化过程.二是垂直数学化(vertical mathematization):即从现有的数学世界中抽象概括出更高级的数学模式的过程，是从低层数学到高层数学的过程.

国内外同行早已认同了Freudenthal的观点：学数学就是学习数学化，教数学就是教数学化。数学化的学习就是学习数学化的过程，即学习如何进行公理化、形式化、图式化、模型化，以及学习在数学内部由低级向高级的发展过程.

结论：基于尊重知识产权以及与国际接轨的要求，“数学化”应作为数学核心素养之一，而不是“数学抽象”。

1.2 逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。 ??

反思1： 逻辑推理是演绎推理的另一种说法，怎么能把从特殊到一般的合情推理当成演绎推理呢？归纳有两种，一是完全归纳，属于演绎推理；二是不完全归纳，属于合情推理。为什么把数学创造中最重要的直觉、想象这两大合情推理的形式丢掉了，逻辑依据是什么？

反思2：为什么不和九年义务教育阶段数学课程标准对“推理”的划分标准统一？为什么要另立标准？George Polya已经为我们清清楚楚界定区分了演绎推理(deductive reasoning)、合情推理(plausible reasoning)，为什么不与国际接轨，反而错误地界定逻辑推理？

逻辑推理不是数学所特有的。不用说逻辑学和哲学，就说文学，中文系的学生谁不知道形式逻辑的基本规律，数学系有几个学生知道呢？在旧课程之下，中国学生为什么创造性不行，根本原因是我们的课程、教学重视演绎推理忽视合情推理。“数学创新能力的培养靠的不是逻辑推理，而是合情推理，逻辑推理则只是真理在手后的论证．”[3]

结论：数学推理才是数学的核心素养之一。

何小亚（2015）：数学推理是指，由一个或几个已知判断得出一个新的数学判断的思维形式。它包括：①演绎推理；②合情推理：从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过不完全归纳、类比和想象等方式来推断某些结果的推理。[4]

1.3 数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。??

反思1：什么是数学模型？这是我国数学课程大纲中一个长期没有明确的概念，为什么至今不予以明确？

反思2：从“数学抽象”与”数学建模”的定义看出，这两个核心素养的内容明显重复了，不满足分类的子项必须互斥的逻辑要求。

结论1：数学模型就是用数学语言符号来描述客观事物的特征及其内在联系的一种结构模式。数学建模(Mathematical Modelling)：就是运用形式化和理想化的手段从实际问题中抽象概括出一个数学模型，求出模型的解，检验模型的合理性，从而使这一实际问题得以解决的过程。

结论2：数学建模是数学化的一种，应该归入“数学化”中，不要把数学建模当作高中数学区别于小学和初中数学的内容，数学建模这一数学化的手段，要从小学和初中抓起。

1.4 直观想象

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。

在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。

反思1：高中对空间观念的要求比初中的要求更高，为什么反而不提空间观念了？为什