5.1 线性方程组迭代公式

1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：?果有3位有效数字。

?3x1?x2?2，要求结

?x1?2x2?11(k)21?(k?1)(k)x??x??(2?x)122??333【解】 雅可比迭代公式：?，迭代计算结果列于下表。

111?x(k?1)??x(k)??(1?x(k))211?222?(k)(k)(k?1)k x1(k) x2|x1(k)?x1(k?1)| |x2?x2| ?0.0005? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2/3 1/2 11/18 7/12 0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.60005 0.59992 0 1/2 1/6 1/4 7/36 0.20833 0.19908 0.20139 0.19985 0.20023 0.19998 - 2/3 1/6 1/9 1/36 0.01852 0.00463 0.00309 0.00077 0.00051 0.00003 - 1/2 1/3 1/12 1/18 0.01389 0.00925 0.00231 0.00154 0.00038 0.00025 N N N N N N N N N Y ?(10)x1?x1?0.600;?(10)x2?x2?0.200；

由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为

1?10?3。 21(k)21?(k?1)(k)x??x??(2?x22)??1333高斯-赛德尔迭代公式：?，迭代计算结果列于下表。

?x(k?1)??1x(k?1)?1?1(1?x(k))212?226?(k)(k)(k?1)k x1(k) x2|x1(k)?x1(k?1)| |x2?x2| ?0.0005? 0 1 2 3 4 5

0 2/3 0.6111 0.6019 0.6003 0.6000 0 1/6 0.1944 0.1991 0.1999 0.1999 - 2/3 0.0092 0.0016 0.0003 - 1/6 0.0047 0.0008 0.0000 N N N N Y ?x1?x1(5)?0.600;?(5)x2?x2?0.200；

2、（p.171，题7）取??1.25，用松弛法求解下列方程组，要求精度为

1?10?4。 2?4x1?3x2?16??3x1?4x2?x3?20 ??x?4x??123?2

【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：

3(k)?~(k?1)x??x2?4?14?3~(k)1(k)9(k)1(k)?~(k?1)x??x?x?5?x2?x3?2?21344164?9(k)1(k)5?~(k?1)1~(k)x?x?3?x2?x3?2?3464162?引入松弛因子，得

(1)

1(k)5~(k?1)?(k?1)(k)(k?1)~x?(1??)x??x??x1?x111?144?1(k)5~(k?1)?(k?1)(k)?(1??)x2??~x2(k?1)??x2?x2?x244?1(k)5~(k?1)?(k?1)(k)(k?1)~x?(1??)x??x??x3?x33?3344?将方程组（1）代入（2），并化简

(2)

1(k)15(k)?(k?1)x??x1?x2?5?1416??(k?1)29(k)5(k)5?x2?x3??x264162?45(k)11(k)25?(k?1)x?x2?x3??3256648?计算结果见下表。 (3)

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7

x1(k) 0 5 1.40625 2.15820 1.61173 1.63577 1.54959 1.53284 1.51561 1.50880 1.50453 1.50245 1.50129 1.50069 1.50037 1.50016 1.50010 1.50005 (k) x2(k) x3(k)(k?1)|x1(k)?x1(k?1)||x2?x2|(k)(k?1)|x3?x3|?e0 2.5 2.65625 3.03223 3.15872 3.24423 3.28508 3.30793 3.31978 3.32615 3.32951 3.33130 3.33225 3.33276 3.33306 3.33318 3.33325 3.33329 0 -3.125 -2.14844 -2.28882 -2.19860 -2.19187 -2.17800 -2.17320 -2.17001 -2.16847 -2.16762 -2.16717 -2.16694 -2.16672 -2.16676 -2.16670 -2.16668 -2.16668 - 5 0.00005 - 2.5 0.00004 - 3.125 0.00000 ? - N N N N N N N N N N N N N N N N Y

?(17)迭代解：x1?x1?1.5001,?(17)x2?x2?3.3333,?(17)x3?x3?2.1667.

精确解：x1?3?1.5,2x2?10?3.3333,3x3??13?2.1667. 65.1 线性方程组迭代公式

1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。

?10x1?x3?5x4??7?x?8x?3x?11?123 ?3x?2x?8x?x?23234?1??x1?2x2?2x3?7x4?17【解】（1）雅可比迭代公式：

?(k?1)?x1??x(k?1)?2??x(k?1)?3?(k?1)?x4?1(k)1(k)7x3?x4?1021013(k)11??x1(k)?x3?888 (1) 3(k)1(k)1(k)23?x1?x2?x4?848812(k)2(k)17??x1(k)?x2?x3?7777??001427?110380?271?2??0??，GJ1?8??0????0?1??GJ??8?4?8?1???7??7?1，迭代收敛。 8

（2）高斯-赛德尔迭代公式：

?(k?1)?x1??x(k?1)?2??x(k?1)?3?(k?1)?x4?1(k)1(k)7x3?x4?1021013(k)11??x1(k?1)?x3?888 (2) 31(k?1)1(k)23?x1(k?1)?x2?x4?848812(k?1)2(k?1)17??x1(k?1)?x2?x3?7777??将方程组（1）带入（2），经化简后，得：

?(k?1)?x1??x(k?1)?2??x(k?1)?3?(k?1)?x4?1(k)1(k)7x3?x4?1021031(k)1(k)117?x3?x4?801680 (3) 19(k)19(k)787?x3?x4?32064320121(k)39(k)3991?x3?x4?11202241120??11?102?311??0?8016?，GG?S1919?032064?8939?0??1120224?0?GG?S??0?????0???0???3?1，迭代收敛。 5 2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：

?x1?2x2??1（1）?

3x?x?22?1?x1?5x2?3x3?2?（2）?5x1?2x2?x3?4

?2x?x?5x??1123?1【解】（1）雅可比迭代：

(k?1)(k)???2x2?1?x1 ，G?(k?1)(k)???3x1?2?x2??3?1,不收敛。

高斯-赛德尔迭代：

(k?1)(k)(k?1)(k)????2x2?1??2x2?1?x1?x1 或 ?(k?1) ，G?(k?1)(k?1)(k)????3x1?2?6x1?5?x2?x2??6?1,不收敛。

（2）雅可比迭代：

?(k)(k)?x1(k?1)??5x2?3x3?2??(k?)5(k)1(k)?x2?x1?x3?2，G22??(k?1)2(k)1(k)11x3?x1?x2??555?高斯-赛德尔迭代：

??8?1,不收敛。

??(k?1)(k)(k)(k)(k)?x1?x1(k?1)??5x2??5x2?3x3?2?3x3?2??25(k)?(k?)5(k?1)1(k)?(k?)(k) 或 x?x?x?2x??x2?8x3?3 ?2?213222??1(k)14(k)18?(k?1)2(k?1)1(k?1)11?(k?1)x?x?x?x??x2?x3?3123??555255??G??8?1,不收敛。

3、（p.171，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程

的收敛性。

【解】加工后结果如下：

?3x1?x2?2（1）?

x?2x??12?1?5x1?2x2?x3?4?（2）?x1?5x2?3x3?2

?2x?x?5x??1123?1方程组（1）的雅可比迭代：

1(k)2?(k?1)3x??x2?1??33，GJ??x(k?1)??1x(k)?121?22?方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：

??1?1，迭代收敛。 21(k)2?(k?1)3x??x2???133，GG?S??x(k?1)?1x(k)?221?63?方程组（2）的雅可比迭代：

??1?1，迭代收敛。 3?(k?1)2(k)1(k)4?x2?x3??x1555?1(k)3(k)2?(k?1)x??x1?x3?，GJ?2555??(k?1)2(k)1(k)11?x1?x2??x3555?方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：

??4?1，迭代收敛。 5