1、以上基本概念和名词术语的解释。

2、掌握浅能级杂质和深能级杂质的基本特点和在半导体中起的作用。

3、掌握等电子陷阱和等离子杂质的概念。能解释硅在砷化镓中的双性行为。 4、掌握点缺陷和位错缺陷对半导体性能的影响。 5、已留的课后作业

第三章 半导体中载流子的统计分布

本章内容提要：

1、本章的主要任务：计算本征半导体和杂质半导体的热平衡载流子浓度及费米能级的位置，讨论n0、p0、EF与ND、NA、T的关系。

2、热平衡和热平衡载流子：在一定温度下，如果没有其它外界作用半导体中的导电电子和空穴是依靠电子的热激发作用而产生的，电子从不断热震动的晶格中获得一定的能量，就可能从低能量的量子态跃迁到高能量的量子态，例如，电子从价带跃迁到导带（这就是本征激发），形成导电电子和价带空穴。电子和空穴也可以通过杂质电离方式产生，当电子从施主能级跃迁到导带时产生导带电子；当电子从价带激发到受主能级时产生价带空穴等。与此同时，还存在着相反的过程，即电子也可以从高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并向晶格放出一定能量，从而使导带中的电子和价带中的空穴不断减少，这一过程称为载流子的复合。在一定温度下，这两个相反的过程之间将建立起动态的平衡，称为热平衡状态。这时，半导体中的导电电子浓度和空穴浓度都保持一个稳定的数值，这种处于热平衡状态下的导电电子和空穴称为热平衡载流子。当温度改变时，破坏了原来的平衡状态，又重新建立起新的平衡状态，热平衡载流子的浓度也将发生变化，达到另一稳定数值。

3、解决问题的思路：热平衡是一种动态平衡，载流子在各个能级之间跃迁，但它们在每个能级上出现的几率是不同的。

要讨论热平衡载流子的统计分布，是首先要解决下述问题： ① 允许的量子态按能量的分布情况——状态密度； ② 电子在允许的量子态中符合分布——分布函数。 然后讨论n0、p0、EF与ND、NA、T的关系。

本章重难点： 重点：

1、为计算电子和空穴的浓度，必须对一个能带内的所有能量积分，而不只是对布里渊区体积积分，为此引入状态密度概念即单位能量间隔内的量子态数。表达式为：g(E)?dZ/dE。可通过下述步骤计算状态密度：首先算出单位k空间中的量子态数，即k空间中的状态密度；然后算出k空间中与能量E到E＋dE间所对应的k空间体积，并和k空间中的状态密度相乘，从而求得在能量E到E＋dE间的量子态数dE；最后，根据前式，求得状态密度g（E）。 2、费米分布函数的意义：它表示能量为E的量子态被一个电子占据的几率，它是描写热平衡状态下电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函数；费米分布函数还给出空穴占据各能级的几率fp(E)，一个能级要么被电子占据，否则就是空的，即被空穴占据，

E?Efp(E)?1?fn(E)?1/[1?exp(F)]

kT3、fn(E)与fp(E)对称于EF

可以证明：fn(EF?E)?fp(EF?E)?1?fn(EF?E) 这对研究电子和空穴的分布很方便。

4、费米分布函数与波耳兹曼分布函数的关系：

当E?EF??kT时，电子的费米分布函数转化为波耳兹曼分布函数

fBn(E)?exp(?E?EF)。因为对于热平衡系统EF和温度为定值，则kTE)，这就是通常见到的波耳兹曼分布函数。 kTfBn(E)?Aexp(? 同理，当E?EF??kT时 ，空穴的费米分布函数转化为空穴的波耳兹曼分布函数

fBp(E)?exp(?EF?E)。在半导体中，最常遇到的情况是费米能级EF位于价带内，而kT且与导带底或价带顶的距离远大于k0T，所以，对导带中的所有量子态来说，被电子占据的几率，一般都满足fn(E)??1，故半导体电子中的电子分布可以用电子的波耳兹曼分布函数描写。由于随着能量E的增大，f（E）迅速减小，所以导带中绝大多数电子分布在导带底附近。同理，对半导体价带中的所有量子态来说，被空穴占据的几率，一般都满足

fp(E)??1，故价带中的空穴分布服从空穴的波耳兹曼分布函数。由于随着能量E的增大，fp(E)迅速增大，所以价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近。因而fBn(E)和fBp(E)是

讨论半导体问题时常用的两个公式。通常把服从波耳兹曼统计率的电子系统称为非简并性系统。

5、费米能级EF：EF称为费米能级或费米能量，它和温度、半导体材料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。EF是一个很重要的物理参数，只要知道了EF的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定。它可以由半导体中能带内所以量子态中被电子占据的量子态数应等于电子总数N这一条件来决定，即

?f(E)?N，将半

ii导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，由统计理论证明，费米能级EF是系统的化学势，即EF???(?F)T，?代表系统的化学势，F式系统的自由能。上式的意义是：当系?N统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变化，等于系统的化学势，所以处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级。一般可以认为，在温度不很高时，能量大于费米能级的电子态基本上没有被电子占据，而能量小于费米能级

的几率在各温度下总是1/2，所以费米能级的位置比较直观的标志了电子占据量子态的状况，通常就说费米能级标志了电子填充能级的水平。费米能级位置越高，说明有较多的能量较高的电子态上有电子。

6、导出导带电子浓度和价带空穴浓度的表达式。理解、掌握电子浓度、空穴浓度表达式的意义。

7、利用电中性条件（所谓电中性条件，就是电中性的半导体，其负电数与正电荷相等。因为电子带负电，空穴带正电，所以对本征半导体，电中性条件是导带中的电子浓度应等于价带中的空穴浓度，即n0＝p0，由此式可导出费米能级。）求解本征半导体的费米能级：本征半导体就是没有杂质和缺陷的半导体，在绝对零度时，价带中的全部量子态都被电子占据，而导带中的量子态全部空着，也就是说，半导体中共价键是饱和的、完整的。当半导体的温度大于零度时，就有电子从价带激发到导带中去，同时价带中产生空穴，这就是所谓的本征激发。由于电子和空穴成对产生，导带中的电子浓度应等于价带中的空穴浓度，即n0＝p0。 8、本征载流子浓度与温度和价带宽度有关。温度升高时，本征载流子浓度迅速增加；不同的半导体材料，在同一温度下，禁带宽度越大，本征载流子浓度越大。

9、一定温度下，任何非简并半导体的热平衡载流子的浓度的乘积对于该温度时的本征载流子的浓度的平方，即n0p0?ni2，与所含杂质无关。因此，它不仅适用于本征半导体材料，而且也适用于非简并的杂质半导体材料。

10、n0p0?ni2的意义：可作为判断半导体材料的热平衡条件。热平衡条件下，n0、p0均为常数，则n0p0?ni2也为常数，这时单位时间单位体积内产生的载流子数等于单位时间单位体积内复合掉的载流子数，也就是说产生率大于复合率。因此，此式可作为判断半导体材料是否达到热平衡的依据式。

11、半导体杂质能级被电子占据的几率函数与费米分布函数不同：因为杂质能级和能带中的能级是有区别的，在能带中的能级可以容纳自旋下凡的两个电子；而施主能级只能或者被一个任意自旋方向的电子占据，或者不接受电子（空的）这两种情况中的一种，即施主能级不允许同时被自旋方向相反的两个电子所占据。所以不能用费米分布函数表示电子占据杂质能级的几率。

12、分析杂质半导体掺杂浓度和温度对载流子浓度和费米能级的影响。掺有某种杂质的半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定。对于杂质浓度一定的半导体，随着温度的升高，载流子则是从以杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程，相应地，费米能级则从位于杂质能级附近逐渐移近禁带中线处。譬如n型半导体，在低温弱电离区时，导带中的电子是从施主杂质电离产生的；随着温度升高，导带中的电子浓度也增加，而费米能级则从施主能级以上往下降到施主能级以下；当EF下降到ED以下若干k0T时，施主杂质全部电离，导带中的电子浓度等于施主浓度，处于饱和区；再升高温度，杂质电离已经不能增加电子数，但本征激发产生的电子迅速增加着，半导体进入过渡区，这是导带中的电子由数量级相近的本征激发部分和杂质电离部分组成，而费米能级则继续下降；当温度再升高时，本征激发成为载流子的主要来源，载流子浓度急剧上升，而费米能级下降到禁带中线处这时就是典型的本征激发。对于p型半导体，作相似的讨论，在受主浓度一定时，随着温度升高，费米能级从在受主能级以下逐渐上升到禁带中线处，而载流子则从以受主电离

为主要来源转化到以本征激发为主要来源。当温度一定时，费米能级的位置由杂质浓度所决定，例如n型半导体，随着施主浓度ND的增加，费米能级从禁带中线逐渐移向导带底方向。对于p型半导体，随着受主浓度的增加费米能级从禁带中线逐渐移向价带顶附近。这说明，在杂质半导体中，费米能级的位置不但反映了半导体导电类型，而且还反映了半导体的掺杂水平。对于n型半导体，费米能级位于禁带中线以上，ND越大，费米能级位置越高。对于p型半导体，费米能级位于中线以下，NA越大，费米能级位置越低。

13、一般情况下，半导体既含有施主杂质，又含有受主杂质，在热平衡状态下，电中性方程

??为n0?pA?nD?p0，此式的意义是：同时含有一种施主杂质和一种受主杂质情况下，半

导体单位体积内的负电荷数（导带电子浓度与电离受主浓度之和）等于单位体内的正电荷数（价带空穴浓度与电离施主浓度之和）。

14、施主浓度大于受主浓度情况下，分析载流子浓度和费米能级与温度的关系。

15、简并半导体的载流子浓度：对于n型半导体，施主浓度很高，使费米能级接近或进入导带时，导带底附近底量子态基本上已被电子占据，导带中底电子数目很多，f(E)??1的条件不能成立，必须考虑泡利不相容原理的作用。这时，不能再用玻耳兹曼分布函数，必须用费米分布函数来分析导带中电子的分布问题。这种情况称为载流子的简并化。发生载流子简并化的半导体称为基本半导体，对于p型半导体，其费米能级接近价带顶或进入价带，也必须用费米分布函数来分析价带中空穴的分布问题。

16、简并时的杂质浓度：对n型半导体，半导体发生简并时，掺杂浓度接近或大于导带底有效状态密度；对于杂质电离能小的杂质，则杂质浓度较小时就会发生简并。对于p型半导体，发生简并的受主浓度接近或大于价带顶有效状态密度，如果受主电离能较小，受主浓度较小时就会发生简并。对于不同种类的半导体，因导带底有效状态密度和价带顶有效密度各不相同。一般规律是有效状态密度小的材料，其发生简并的杂质浓度较小。

难点：

1、能量状态密度与k空间量子态的分布即等能面的形状有关。在k 空间量子态的分布是均匀的，量子态的密度为V（立方晶体的体积）。如果计入自旋，每个量子态可以允许两个自旋相反的电子占据一个量子态。换言之，k空间每个量子态实际上代表自旋方向相反的两个量子态，所以，在k空间，电子允许的量子态密度为2V。注意：这时每个量子态最多容纳一个电子。这样，与费米分布函数的定义就统一起来了（费米分布函数是能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率）。

2、状态密度表达式的推导过程作为课堂讨论的课程重点内容之一。

3、导出导带电子浓度的基本思路是：和计算状态密度是一样，认为能带中的能级是连续分布的，将能带分成一个个很小的能量间隔来处理。对导带分为无限多的无限小的能量间隔，则在能量E到E?dE之间有dZ个量子态，而电子占据能量为E的量子态的几率是f(E)，则在E到E?dE间有f(E)dZ个被电子占据的量子态，因为每个被占据的量子态上有一个电子，所以在E到E?dE间有f(E)dZ个电子。然后把所有能量区间中的电子数相加，实

际上是从导带底到导带顶对f(E)dZ进行积分，就得到了能带中底电子总数，再除以半导体体积就得到了导带中的电子浓度。因为费米能级一般在禁带中，导带中的能级远高于费米能级，即当E?EF??kT时，计算导带电子浓度可用玻耳兹曼分布函数。

4、本征半导体中导带电子浓度等于价带空穴浓度，根据载流子的分布函数及费米年间的意义可知：本征半导体的费米能级应该位于导带底和价带顶之间的中间位置，即禁带中央处。只有这样，导带电子和价带空穴才能对称于费米能级，分布在导带和价带中，以满足n0＝

p0。但是由于导带有效状态密度（Nc）和价带有效状态密度（Nv）中分别含有电子状态

浓度的有效质量（mdn）和价带空穴状态有效密度（mdp）。由于两者数值上的差异，使本征半导体的费米能级偏离禁带中央。如果费米能级偏离禁带中很小，可以认为费米能级基本上位于禁带中央；如果mdp和mdn相差很大，本征半导体的费米能级就会偏离禁带中央很远。具体情况可用本征半导体费米能级表达式分析(见课后第6题)

5、根据电中性方程导出各个温度区间的费米能级和载流子浓度表达式。

6、杂质电离程度与温度、掺杂浓度及杂质电离能有关，温度高、电离能小，有利于杂质电离。但杂质浓度过高，则杂质不能充分电离。通常所说的室温下杂质全部电离，实际上忽略了杂质浓度的限制。

7、在不同的温度区间分析载流子密度和费米能级与温度的关系温度区间的划分不是我们传统意义的以温度的数值范围来划分，而是通过相关参量的比较，把要讨论的整个温度范围划分为极低温区（弱电离）、低温区（杂质电离）??本征激发区。 8、注意两个电中性方程的适用条件：杂质全部电离，本征激发可以忽略，即ND?NA??ni??时，电中性方程为n0?ND?NA，（原始方程为n0?pA）。杂质全部电离，本征激发?n0不能忽略即掺杂浓度ND?NA与ni的数值相近，或由于温度升高使ni数值增大而导致

??，ND?NA与ni相近时，电中性方程n0?NA?p0?ND（原始方程n0?pA?p0?nD式中pA?NA，nD?ND）。

使用上述两个电中性方程时，关键要判断是否要考虑本征激发对电中性方程的影响。

9、导体发生简并对应一个温度范围：用图解的方法可以求出半导体发生简并时，对应一个温度范围。这个温度范围的大小与发生简并时的杂质浓度及杂质电离能有关：电离能一定时，杂质浓度越大，发生简并的温度范围越大；发生简并的杂质浓度一定时，杂质电离能越小，简并温度范围越大。

??

本章基本物理概念和问题：

费米分布函数、波尔兹曼分布函数、k空间状态密度和能量状态密度的概念。 电子浓度和空穴浓度的乘积n0p0与费米能级无关。对一定的半导体材料，乘积n0p0只