电大《初等数论》2022-2023期末试题及答案

一、单项选择题(每题4分，共24分) 1．如果b|a,a|b,则（ )．

2．如果

则15( )n．

A．整除 B．不整除 C．等于 D．不一定

3．在整数中正素数的个数( )． A．有l个 B．有限多 C．无限多 D．不一定

4．如果a?b(modm)，c是任意整数，则( )．

A.ac?bc(modm) B．a=b

D.a??b

5．如果（ )，则不定方程ax+ay=c有解． A.(a,b)|c B.c|(a,b) C.a|c D.(a,b)|a 6．整数5874192能被( )整除． A．3 B．3与9 C．9 D．3或9

二、填空题(每题4分，共24分) 1．有理数

，能写成循环小数的条件是( ) ．

2．同余式12x?15?0(mod45)有解，而且解的个数为( ) ． 3．不大于545而为l3的倍数的正整数的个数为 ( ) ．

4．设n是一正整数，Euler函数?(n)表示所有( )n，而且与n( )的正整数的个数． 5．设a，b整数，则(a，b) ( )=ab．

6·一个整数能被3整除的充分必要条件是它的——数码的和能被3整除． 三、计算题(每题8分，共32分) 1．求(136，221，391)=?

2．求解不定方程9x+21y=6． 3．解同余式12x?15?0(mod5). 4．解同余式x?5(mod11) 四、证明题(每小题10分，共20分)

2nn2n3?1．证明对于任意整数n，数?是整数． 2632．如果n是使a?1(modk)的最小正整数，则当a

试题答案及评分标准

一、单项选择题(每题4分。共24分)

1．D 2．A 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题(每题4分。共24分)

1．(b，10)=1 2． 3 3． 41

4．不大于 互素 5．[a，b] 6．十进位 三、计算题(32分)

1．求(136，221，391)=?

解：(136，221，391)=(136，(221，391)) =(136，17)=17

2．求解不定方程9z+2ly=6．

解：因为(9，21)=3|6，所以有解．化简3z+7y一2 简单计算x=4，y=2是一组特解， 所以不定方程的解为z=4+7t，y=2—3t 3．解同余式

nm?1(modk)时，必有n|m.

12x?15?0(mod5)

解：因为(12，5)|5，所以有解，而且解的个数为1

又等价方程为l22一5y=一15，计算后解为x=5，y=15． 即x同余于0,x?0(mod5) 4．解同余式

x2?5(mod11)

解：因为511?12?510?35?1(mod11)所以有解，而且解的个数为2

解分别为x?4,7(mod11)

四、证明题(每小题l0分，共20分)

nn2n3?l证明对于任意整数n，数?是整数 632证明：因为

nn2n.hn1???(2?3n?n2)?n(n?1)(n?2)

63266而且两个连续整数的乘积是2的倍数，3个连续整数的乘积是3的倍数． 并且(2，3)=l

所以从2ln(n?1)(n?2)和3ln(n?1)(n?2) 有6ln(n?1)(n?2)

nn2n3?即?是整数． 2632．如果n是使a?1(modk)的最小正整数，则当

nam?1(modk)时，必有n|m.

证明：反证，如果没有n|m则

m?nq?r,0?r?n

于是a

m?anJ?r?ar?1(modk)，矛盾