同理，BB12=
11(a2+b2+c2)-4R2+r2，CC12=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有22AA1=BB1=CC1.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，
△CDA的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.
例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF
中点P是△ABC之内心.
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增
加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？
如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知
rAQ=.
sin? ∵QK·AQ=MQ·QN， ∴QK=
MQ?QN(2R?r)?r==sin??(2R?r). r/sin?AQ 由Rt△EPQ知PQ=sin??r.
∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆
半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
1111∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)=[(a+b)2-c2] =ab；
224211(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
22- 21 -
121[c-(a-b)2]=ab. 42∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.
1而r=(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
2=4p-(a+b+c)=2p.
由①及图形易证.
例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△
ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.
=
证明：
r1rr·2=. q1q2q分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·sinA' 2A'B'B'sin?sinsinA'22， 2 =A′B′··sin =A′B′·
A'?B'2sin?A'O'B'sin2A'B'coscos22. O′E= A′B′·
A'?B'sin2ODA'B'?tgtg. ∴O'E22亦即有
r1rA?CMA?CNBBABrtgtg =tgtg=. ·2=tgtg222222qq1q2六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，
BE，CF三条对角线交于一点；
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分
线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不
等式有：
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.
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∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. I就是一点两心.
例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明
OE丄CD.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
CD交AM于G，G必为△ABC重心.连GE，MF，MF交DC于K.易证：
1DG:GK=DC:()DC=2:1.
3 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF. ∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心.易证OE
丄CD.
例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的
E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. 分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.
1 利用内心张角公式，有 AIB=90°+∠C=105°，
2 ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
111 ∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠
222BAC-60°)
1 =∠BAC=∠BAI=∠BEI.
2 ∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK，
∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离
和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂. 求证：1·d垂+2·d外=3·d重.
分析：这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，
C. 易知d外=OO1+OO2+OO3
=cosA+cosB+cosC，
∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.
∴3d重=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②
BH ∴=2，
sin?BCHADFCPOEGB- 23 -
∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3
=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.
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