高中数学竞赛题之平面几何 下载本文

同理,BB12=

11(a2+b2+c2)-4R2+r2,CC12=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有22AA1=BB1=CC1.

四、内心

三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:

设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′,则有A ′I=A′B=A′C.换言之,点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7.ABCD为圆内接凸四边形,取△DAB,△ABC,△BCD,

△CDA的内心O1, O2,O3, O4.求证:O1O2O3O4为矩形.

例8.已知⊙O内接△ABC,⊙Q切AB,AC于E,F且与⊙O内切.试证:EF

中点P是△ABC之内心.

分析:在第20届IMO中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增

加了条件AB=AC.当AB≠AC,怎样证明呢?

如图,显然EF中点P、圆心Q,BC中点K都在∠BAC平分线上.易知

rAQ=.

sin? ∵QK·AQ=MQ·QN, ∴QK=

MQ?QN(2R?r)?r==sin??(2R?r). r/sin?AQ 由Rt△EPQ知PQ=sin??r.

∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?

利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心.

五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.

例9.在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p.式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆

半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析:设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:

p(p-c)=(p-a)(p-b).

1111∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)=[(a+b)2-c2] =ab;

224211(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)

22- 21 -

121[c-(a-b)2]=ab. 42∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形,可得ra=AF-AC=p-b,rb=BG-BC=p-a,rc=CK=p.

1而r=(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p

2=4p-(a+b+c)=2p.

由①及图形易证.

例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△

ABC内切圆的半径,q1,q2,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.

=

证明:

r1rr·2=. q1q2q分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知OD=OA′·sinA' 2A'B'B'sin?sinsinA'22, 2 =A′B′··sin =A′B′·

A'?B'2sin?A'O'B'sin2A'B'coscos22. O′E= A′B′·

A'?B'sin2ODA'B'?tgtg. ∴O'E22亦即有

r1rA?CMA?CNBBABrtgtg =tgtg=. ·2=tgtg222222qq1q2六、众心共圆

这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:(1)AD,

BE,CF三条对角线交于一点;

(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题)

分析:连接AC,CE,EA,由已知可证AD,CF,EB是△ACE的三条内角平分

线,I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC. 再由△BDF,易证BP,DQ,FS是它的三条高,I是它的垂心,利用 不

等式有:

BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).

不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS. ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.

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∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. I就是一点两心.

例12.△ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点,E是△ACD的重心.证明

OE丄CD.

(加拿大数学奥林匹克训练题)

分析:设AM为高亦为中线,取AC中点F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设

CD交AM于G,G必为△ABC重心.连GE,MF,MF交DC于K.易证:

1DG:GK=DC:()DC=2:1.

3 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF. ∵OD丄AB,MF∥AB,

∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心.易证OE

丄CD.

例13.△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边AC上的D点与边BC上的

E点使得AD=BE=AB.求证:OI丄DE,OI=DE. 分析:辅助线如图所示,作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB,∠AID=∠AIB=∠EIB.

1 利用内心张角公式,有 AIB=90°+∠C=105°,

2 ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

111 ∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠

222BAC-60°)

1 =∠BAC=∠BAI=∠BEI.

2 ∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK,

∴DO丄IE,即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.

例14.锐角△ABC中,O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离

和为d外,重心到三边距离和为d重,垂心到三边距离和为d垂. 求证:1·d垂+2·d外=3·d重.

分析:这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1,三个内角记为A,B,

C. 易知d外=OO1+OO2+OO3

=cosA+cosB+cosC,

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC, 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②

BH ∴=2,

sin?BCHADFCPOEGB- 23 -

∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2,HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论,观察①、②、③,

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

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