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x1(t) 1
|X(f)| φ(f) π/2 0
t
0 -1
0 f -π/2 f x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
b)阶跃函数频谱
符号函数频谱
?1t?0 u(t)??0t?0?在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。
解法1：利用符号函数
u(t)?11?sgn(t) 2211?1?1?1??1?1 U(f)?F?u(t)??F???F?sgn(t)???(f)???j??(f)?j???22??f?2??f??2?2U(f)?11?2(f)? 22??f?结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预
料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
|U(f)|
φ(f) π/2 0 -π/2 f
单位阶跃信号频谱
解法2：利用冲激函数
f (1/2) 0
?1t?0时u(t)???(?)d???
??0t?0时?t根据傅里叶变换的积分特性
Word 资料
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t111?1?? U(f)?F??(?)d????(f)??(0)?(f)???(f)?j??????j2?f22??f??1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。
??cosω0tx(t)????0t?Tt?T
x(t) 1
解：x(t)?w(t)cos(2?f0t)
w(t)为矩形脉冲信号
W(f)?2Tsinc(2?Tf)
-T 0 T t 1j2?f0t?j2?f0t e?e211j2?f0t所以x(t)?w(t)e?w(t)e?j2?f0t
22cos(2?f0t)???-1 w(t) 1 根据频移特性和叠加性得：
11X(f)?W(f?f0)?W(f?f0) 22?Tsinc[2?T(f?f0)]?Tsinc[2?T(f?f0)]-T 0 图1-26 被截断的余弦函数
T t 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
X(f) T -f0 被截断的余弦函数频谱
1-6 求指数衰减信号x(t)?e?atf0 f
sinω0t的频谱
Word 资料
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x(t) 指数衰减信号
解答：
sin(?0t)?1j?0t?j?0te?e 2j??所以x(t)?e?at1j?0t?j?0te?e 2j??
单边指数衰减信号x1(t)?e?at(a?0,t?0)的频谱密度函数为
X1(f)??x(t)1e????j?tdt??e?ate?j?tdt?0?1a?j??2
a?j?a??2根据频移特性和叠加性得：
X(?)?
11?a?j(???0)a?j(???0)?X(???)?X(???)??2?1?2?010?22j2j?a?(???0)a?(???0)2???0[a?(???0)]2a?0??j[a2?(???0)2][a2?(???0)2][a2?(???0)2][a2?(???0)2]X(ω) φ(ω) π 222
0 ω -π 0 ω 指数衰减信号的频谱图
1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cosω0t(ω0?ωm)。在这个关系
中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0?ωm时将会出现什么情况？
Word 资料
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f(t) F(ω) 0 t -ωm 0 ωm ω 图1-27 题1-7图
解：x(t)?f(t)cos(?0t)
F(?)?F[f(t)]
1j?0t?j?0t e?e211j?t?j?t所以x(t)?f(t)e0?f(t)e0
22cos(?0t)???根据频移特性和叠加性得：
X(f)?11F(???0)?F(???0) 22可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。
X(f) -ω0 矩形调幅信号频谱
若ω0?ωm将发生混叠。
ω0 f
1-8 求正弦信号x(t)?x0sin(ωt?φ)的均值μx、均方值ψx和概率密度函数p(x)。 解答： (1)μx?lim21T1x(t)dt?T??T?0T0?T00x0sin(ωt?φ)dt?0，式中T0?2π—正弦信号周期 ωWord 资料
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1T21(2)ψ?lim?x(t)dt?T??T0T02x?T00x02x0sin(ωt?φ)dt?T022?T00x021?cos2(ωt?φ) dt?22(3)在一个周期内
Tx0?Δt1?Δt2?2Δt
P[x?x(t)?x?Δx]?limTxTx02Δt??
T??TT0T0
p(x)?limP[x?x(t)?x?Δx]2Δt2dt1 ?lim??22Δx?0Δx?0ΔxT0ΔxT0dxπx0?xx(t) Δt Δt x+Δx x t 正弦信号
Word 资料